Краткие теоретические сведения. 4 страница

Общее уравнение , где , определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:

1а) -уравнение окружности с центром в точке и радиусом (рис. 5).

1б) - уравнение эллипса с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями эллипса; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.

Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр эллипса; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами , параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.6).

Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны (рис. 5).

Рис.5 Рис 6

2) - уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.

Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 7) или гиперболы (рис. 8).

Рис.7 Рис.8

3а) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 9).

3б) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 10).

Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы : при - в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при - в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б).

Рис. 9а Рис. 9б

Рис. 10а Рис. 10б

Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.

Для пространства система линейных неравенств имеет вид

.

Её областью решений является пересечение полуплоскостей, ограниченных прямыми, уравнения которых получают из неравенств заменой в них знаков неравенств на знаки равенств

Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Задачи линейного программирования (ЗЛП) являются задачами оптимизации и широко применяются для решения экономических задач.

Существует несколько форм записи задачи линейного программирования.

Общей задачей линейного программирования называют задачу:

Симметричной задачей линейного программирования называют задачу:

или

Канонической задачей линейного программирования называют задачу:

Функция называется целевой функцией; величины называются переменными задачи; система уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи называется системой ограничений; любой -мерный вектор удовлетворяющий системе ограничений называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования; множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений; допустимое решение ЗЛП, при котором целевая функция достигает экстремума называется оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования.

Все формы записи ЗЛП эквивалентны. ЗЛП с двумя переменными может быть решена графическим методом, который основан на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений ЗЛП строится как пересечение областей решений каждого из ограничений, входящих в систему ограничений задачи. Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня целевой функции. Линией уровня целевой функции называется прямая , на которой целевая функция принимает постоянное значение . Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль показывает направление наибольшего возрастания значений целевой функции, а вектор () – направление наибольшего убывания.

Если построить на одном рисунке область допустимых решений, вектор () и одну из линий уровня, например , то задача линейного программирования сводится к определению в области допустимых решений точки в направлении вектора (), через которую проходит линия уровня (), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . В этом и состоит графический метод решения ЗЛП.

Примером экономической задачи, сводящейся к задаче линейного программирования, является задача оптимального использования ресурсов.