Алгоритм локальной интерполяции по формуле Лагранже

Алгоритм глобальной интерполяции по формуле Лагранжа.

Ввод x(i), y(i), где i =1,2… n; xk

Вычисление yk по формуле (2)

Печать xk, yk

x(n), y(n) –массивы заданных точек и функции в этих точках;

xk – точка, в которой надо найти значение функции yk.

 

3.3.2. Локальная интерполяция.

При локальной интерполяции для каждого интервала строится своя функция. Рассмотрим линейную интерполяцию. Задана точка x (i=1, 2, 3….n) на отрезке [a;b] и значения функции в этих точках y(i). Запишем уравнение прямой на i - том интервале, проходящей через точки (x_i-1, y_i-1) и (x_i, y_i):

(y-y_i-1) / (y_i-y_i-1) = (x-x_i-1) / (x_i-x_i-1)

Отсюда

y = y_i-1 + (y_i-y_i-2) * (x-x_i-1) / (x_i-x_i-1)

 

По этой формуле можно определить функцию y в лубой точке. Но сначала надо определить в какой интервал отрзка [a;b] попадет искомая точка, т. е. определитель i.

Алгоритм линейной интерполяции.

Ввод x(i), y(i), где i =1,2… n; xk

i =1

Начало цикла

i = i +1

конец цикла, по условию xk < x(i)

Вычисление yk по формуле (3)

Печать xk, yk

x(n), y(n) –массивы заданных точек и функции в этих точках;

xk – точка, в которой надо найти значение функции yk.

Линейную интерполяцию применяют, если функция близка к линейной или узлы интерполяции находится достаточно близко между собой.

Алгоритм локальной интерполяции по формуле Лагранже.

Формулу Лагранжа можно использовать и для локальной интерполяции. Для этого удобно проводить интерполяционный многочлен через 4 точки, причем проводить его так, чтобы точка, в которой надо найти значение функции, находилась в середине многочлена, т.е. между второй и третьей точками. Исключение составит точки, находящиеся на первом и последнем интервале.

n - количество узлов интерполяции;

a, b – соответственно левый и правый концы интервала;

x (n), y (n) - массивы узлов интерполяции;

xk - точка, в которой надо найти значение функции;

yk – значение интерполяционного многочлена в точке xk;

nn, nk – соответственно номера 1- ой и последней точек интерполяционного многочлена.

Ввод a, b, n, xk, x(i), y(i) i =1, 2, … n

k =1

Начало цикла

k = k +1

Конец цикла, по условию xk < x(k)

Если х <=2, то nn =1; nk =4

Если 2< k <= n -1, то nn = k -2; nk = k +1

Если k = n, то nn = n -3; nk = n

yk=LAGR(nn,nk,xk,x,y)

Печать xk, yk

В этом случае формула Лагранжа запишется так:

 

 

Обычно при локальной интерполяции не применяют многочлен выше четвертой степени. Для повышения точности надо увеличить количество узлов. Недостатком локальной интерполяции является наличие точек сопряжения интерполирующих кривых, а значит – разрыв производных, что недопустимо для некоторых задач.

 

Инструкция пользования программой

Для запуска программы необходимо открыть лист EXCEL, затем нажать на клавишу ALT и F11 одноременно. Затем появится окно для напиcания программы для языке Visual Basic.

Сначала рассмотрим запись на Visual Basic по методу глобальной интерполяции:

· вводим массивы узлов интерполяции, количество узлов интерполяции и точку, в которой надо найти промежуточное значение;

· переводим формулу Лагранжа (2) на язык программирования для Visual Basic и записываем;

· вводим адрес ячейки для вывода на лист EXCEL, в которую выйдет значение промежуточной точки (уk).

Теперь рассмотрим запись по методу линейной интерполяции:

· вводим массивы узлов интерполяции, количество узлов интерполяции и точку, в которой надо найти промежуточное значение;

· находим номера точек;

· записываем формулу для нахождения промежуточной точки (уk);

· вводим адрес ячейки для вывода на лист EXCEL.

Запись по методу локальной интерполяции:

· обращаем формулу Лагранжа для локальной интерполяции к функции и записываем;

· вводим массивы узлов интерполяции, количество узлов интерполяции и точку, в которой надо найти промежуточное значение;

· находим номера точек;

· вводим условия для значений nn и nk;

· вводим адрес ячейки для вывода на лист EXCEL.

Исходные данные и результат решения контрольного примера

 

1. Вводные данные:

x	-5	-4	-3	-2	-1
y	-2,17	-2,96	-5,29	20,00	1,11	0,00	0,91	2,22	2,43	2,16	1,85

Задача:

Вычислить значение функции между всеми точками методами:

1. Лагранжа как глобальную интерполяцию;

2. Лагранжа как локальную интерполяцию;

3. линейной интерполяции.

 

2. График функции вводных данных:

Рис.1

 

3. Текст программы по методу глобальной интерполяции по формуле Лагранжа;

4. Текст программы по методу линейной интерполяции:

 

 

5. Текст программы по методу локальной интерполяции по формуле Лагранжа:

 

6. Все найденные точки на листе EXCEL:

 

Рис.2

 

 

7. Построение найденных промежуточных точек на графике:

Рис. 3

 

 

Заключение

В данной курсовой работе я разобрал формулу Лагранжа для разных методов интерполяции. Формулу Лагранжа удобно использовать, если нет необходимости иметь коэффициенты многочлена, а надо лишь найти значения функции в промежуточных точках. Именно такая задача была поставлена передо мной, т.е. найти значения функции в промежуточных точках. Судя по графику (рис.3), можно прийти к выводу, что найденные точки являются значениями данной функции.

В процессе выполнения курсовой работы были закреплены приобретенные за период обучения навыки и умения самостоятельного составления алгоритмов и программ на языке программирования Visual Basic простых типовых математических задач. Эта работа ещё раз подтвердила полезность использования ЭВМ для решения прикладных математических задач. Полученные знания и накопленный опыт решения простых задач в будущем позволят разрабатывать гораздо более сложные программы и алгоритмы, облегчат разбиение сложных задач на простые элементы.

 

Список использованной литературы

 

1. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: Наука, 1987. - 597 с.

2. Бут, Э. Д. Численные методы / Э. Д. Бут. - М.: Физматгиз, 1959. - 239 с.

3. Воробьева, Г. Н. Практикум по вычислительной математике / Г. Н. Воробьева, А. Н. Данилова. – М.: Высшая школа, 1990. – 207 с.

4. Рено, Н. Н. Численные методы: учебное пособие / Н. Н. Рено. – М.: КДУ, 2007. - 100 с.

5. Турчак, Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак. - М.: Наука, 1978. - 318 с.

6. Хемминг, Р. В. Численные методы / Р. В.. Хемминг. - М.: Наука, 1968. - 400 с.