Вывод неразрешимости логики первого порядка из неразрешимости проблемы остановки

Вообще, говорят, что проблема распознавания какого-либо свойства разрешима, если существует допускающий механическое вычисление тест (вычислимая, или эффективная, процедура), который, будучи применен к произвольному объекту соответствующего типа, по прошествии некоторого времени правильно классифицирует этот объект с точки зрения наличия или отсутствия у него некоторого свойства. (Слова «по прошествии некоторого времени» означают здесь «после некоторого конечного числа шагов».) Позитивным тестом называется эффективная процедура, устанавливающая по прошествии некоторого времени все случаи наличия соответствующего свойства и только их. Негативный тест – это эффективная процедура, обнаруживающая все случаи отсутствия свойства и только их. Проблема распознавания произвольного свойства разрешима тогда и только тогда, когда для него существует и позитивный, и негативный тесты; дело в том, что всякий объект может или обладать рассматриваемым свойством, или нет, и потому, обладая обоими тестами, можно применить их оба к интересующему объекту, выполняя поочередно шаги одного и другого, и после некоторого их количества обнаружить, обладает он этим свойством или нет. (Верно и обратное: всякий тест, устанавливающий через некоторое конечное число шагов, обладает данный объект рассматриваемым свойством или нет, реализует и позитивный, и негативный тесты для этого свойства) Нас будут интересовать сейчас свойства общезначимости и выполнимости, а в роли объектов «соответствующего типа» выступают формулы языка логики первого порядка.

Докажем, что для этих тестов не существует дополнительных – позитивного для выполнимости и негативного для общезначимости – и потому в логике первого порядка проблемы распознавания как общезначимости, так и выполнимости неразрешимы.

Докажем неразрешимость логики первого порядка от противного: покажем, что если бы соответствующий тест существовал, то проблема остановки оказалась бы разрешимой. Мы убедились, что проблема остановки неразрешима.

Наше доказательство от противного будет строиться так: мы покажем, как, располагая программой машины Тьюринга, а также натуральным числом n, можно эффективно построить такие конечное множество предложений Д и еще одно предложение Н, что Д ├ Н тогда и только тогда, когда рассматриваемая машина, будучи запущенной в состоянии n (т.е. когда она начинает работу в состоянии q ₁, считывая при этом самую левую единицу в сплошном массиве из n единиц на ленте с пустыми символами в остальных клетках), в конце концов останавливается. Таким образом, мы определяем некоторую интерпретацию машины Тьюринга I. Формула Н в интерпретации I говорит, что машина в конце концов остановится, а формула из множества Д описывают работу машины. Введем функцию следования ' (где i' = i + 1 для всякого i). Таким образом, если бы мы могли решить проблему распознавания общезначимости предложений, мы смогли бы эффективно решать, остановится в конце концов или нет данная машина Тьюринга, поскольку логическое следование Д ├ Н имеет место тогда и только тогда, когда общезначима импликация F₁ F₂ … F_k→H, где F_i Д (i = 1,2,… k).

Будем считать, что клетки ленты машины Тьюринга занумерованы так:

…

-3

-2

-1

…

Будем также предполагать, что время разбито на бесконечную последовательность моментов t, в каждый из которых машина выполняет точно одну свою операцию, и что машина начинает работу в момент времени 0, считывая при этом содержимое клетки 0. Моменты времени предполагаются неограниченно продолжаемыми как в будущее, так и в прошлое, равно как и лента бесконечно простирается и вправо, и влево. Мы считаем, что машина «включается» в момент 0 и «выключается» в первый момент (если таковой наступит), который следует за моментом ее остановки; мы считаем, далее, что во все отрицательные моменты времени и во все моменты, следующие за моментом остановки машины, она не находится ни в каком состоянии, не считывает никакую из имеющихся клеток и никакой символ (даже пустой) не встречается нигде на ее ленте.

Каждому состоянию q _i, в котором может пребывать машина, ставится в соответствие некоторый двуместный предикатный символ Q_i, подобным же образом каждому символу a _j, который машина может считывать либо записывать, ставится в соответствие двуместный предикатный символ A_j. Помимо символов Q_i и A_j в формулах из множества Д {Н} могут встречаться только следующие символы: имя 0, одноместный функциональный символ ' и двуместный предикатный символ <.

В предполагаемой интерпретации I предложений из множества Д {Н} предметной областью являются целые числа. Имени 0 интерпретация I приписывает значение нуль, а функциональному символу ' – функцию следования. Символы Q_i, A_j и < интерпретируются следующим образом:

I объявляет Q_i истинным на паре t, x в точности тогда, когда машина в момент времени t находится в состоянии q _i, считывая при этом клетку с номером х.

I объявляет a _j истинным на паре t, x в точности тогда, когда вмомент t в клетке с номером х находится символ a _j;

I объявляет < истинным на паре х, у в точности тогда, когда х меньше чем у.

Выясним теперь, какие функции содержатся в множестве Д. (Будем использовать переменную t в тех случаях, когда имеется в виду время, и переменные х и у, когда речь идет о клетках на ленте.) Пусть a _i, …, a _n – список символов, считываемых и записываемых машиной. Для каждой строки программы вида q _i a _j → a _pC q _k мы включаем в множество Д формулу

(1) " x " y " t ((t Q_i x t A_j x) → (t ' Q_k x t A_p x (y ≠ x → (t A₀ y → t 'A₀ y … t A_n y → t 'A_n y))))

(«Если в момент времени t машина находится в состоянии q _i, считывая при этом символ a _j в клетке х, то в момент t + 1 машина перейдет в состояние q _k, считывая при этом клетку х, в которой появится символ A_p, а во всех клетках, отличных от х, в момент t + 1 останутся те же символы, что в момент t для всех t и х.»)

Также в множество Д для каждой строки программы вида q _i a _j → a _j П q _k мы включаем формулу

(2) " x " y " t ((t Q_i x t A_j x) → (t ' Q_k x ' (t A₀ y → t 'A₀ y) … (t A_n y → t 'A_n y)))

(«Если в момент времени t машина находится в состоянии q _i, считывая при этом символ a _j в клетке х, то в момент t + 1 машина перейдет в состояние q _k, считывая при этом клетку х + 1, и во всех клетках в момент t + 1 останутся те же символы, что в момент t для всех t и х.»)

Аналогично для строк вида q _i a _j → a _jЛ q _kвключаем в Д

(3) " x " y " t ((t Q_i x ' t A_j x ') → (t ' Q_k x (t A₀ y → t 'A₀ y) … (t A_n y → t 'A_n y)))

(«Если в момент времени t машина находится в состоянии q _i, считывая при этом символ a _jв клетке х + 1, то в момент t + 1 машина перейдет в состояние q _k, считывая при этом клетку х, и во всех клетках в момент t + 1 останутся те же символы, что в момент t для всех t и х.»)

Одно из предложений множества Д утверждает, что в начальный момент машина находится в состоянии q ₁, считывая при этом самую левую единицу в сплошном массиве единиц на ленте с пустыми символами в остальных клетках:

(4) 0 Q_i 0 0 A₁ 0 0 A₁ 0' … 0 A₁ 0^(n-1) " y ((y ≠ 0 y ≠ 0' … y ≠ 0⁽ⁿ^-1)) → 0 A₀ y)

Здесь 0⁽ⁿ^-1) обозначает результат применения n символов следования к символу 0.

Еще одна из формула множества Д утверждает, что всякое целое число является следующим точно за одним целым:

(5) " z $ x z = x ' " z " x " y (z = x ' z = y ' → x = y)

Введем в Д еще одну формулу

(6) " x " y " z (x < y y < z → x < z) " x " y (x ' = y → x < y) " x " y (x < y → x ≠ y),

из которого следует, что если p и q – различные натуральные числа, то " x x ⁽^p⁾ ≠ x ⁽^q⁾.

Таким образом, Д состоит из формул (1), (2), (3), соответствующих всем командам машины, и трема дополнительными (4), (5), (6). Что касается предложения Н, то заметим, что всякая машина останавливается в момент времени t, если она в это время находится в состоянии q _i, считывая при этом символ a _j, причем в машинной таблице нет команды, соответствующей комбинации q _i a _j. Таким образом, за предложение Н мы принимаем дизъюнкцию всех предложений вида

$ t $ x (t Q_i x t A_i x),

для которых в машинной таблице нет команд, соответствующих комбинациям q _i a _j. Если же для всякой такой комбинации в таблице имеются команды, то машина никогда не остановится, и за Н в этом случае мы принимаем какую-либо формулу, ложную в интерпретации I, например 0 ≠ 0.

Мы показали, как по данной машине и входному значению n построить такие конечное множество предложений Д и отдельное предложение Н, что соотношение Д ├ Н имеет место тогда и только тогда, когда машина, получив n на входе, в конце концов, останавливается.

Рассмотрим факты, касающиеся отношения ├ в логике первого порядка. Все предложения из множества Д истинны в интерпретации I. Поэтому если Д ├ Н, то и Н истинно в I. Но Н истинно в I тогда и только тогда, когда машина, получив на входе n, в конце концов останавливается.

Введем теперь один специальный тип формул, называемых нами описаниями времени s. Так называется всякая формула, определяющая очевидным способом, в каком состоянии находится машина в момент s, какая клетка ею в это время считывается, а также в каких клетках ленты какие символы записаны, причем все это делается на языке множества формул Д {Н}. Точнее говоря, всякое описание времени s есть формула вида

(7) 0^(s)Q_i0^(p) 0^(s) … 0^(s)A_j0^(p) … 0^(s) " y ((y … y 0^(p) … y ) → 0^(s)A₀ y)

Мы требуем при этом, чтобы последовательность целых чисел p₁,…, р,…, p_v была возрастающей; р может совпадать с р₁ или с р_v Заметим, что формула (4) является описанием времени 0.

Предположим теперь, что машина, получив на входе число n, в конце концов останавливается. Тогда для некоторых s, i, p и j машина в момент s окажется в состоянии q_i, считывая при этом клетку с номером р, содержащую символ aj, причем в программе машинной нет команды для комбинации q _i a _j.

Предположим, далее, что из множества формул Д следует некоторое описание G времени s. Поскольку I – модель для Д, формула G должно быть истинным в I. Поэтому G должно содержать в качестве конъюнктивных членов формулы 0⁽^s⁾Qi0⁽^p⁾ и 0⁽^s⁾Aj0⁽^p⁾ а потому из G должна следовать формула

$ t $ x (t Qi x t Ai x),

входящее одним из дизъюнктивных членов в H. Поэтому Н будет следовать из Д.

Остается лишь показать, что для всякого неотрицательного s, если только машина не останавливается до момента s, из Д следует некоторое описание времени s. Докажем это индукцией по s.

Основание индукции. Пусть s = 0. Множество Д содержит, а потому и влечет за собой предложение (4), являющееся описанием времени 0.

Шаг индукции. Предположим, что выделенное курсивом предложение верно (для s). Предположим, далее, что наша машина не остановилась до момента s + 1. Это значит, что она не остановилась ни до момента s, ни в самый момент s. Тогда из Д следует некоторое описание (8) времени s. Нужно доказать, что из Д следует и некоторое описание времени s+1.

Поскольку I – модель для Д, формула (8) истинна в I. Поэтому в момент s машина находится в состоянии qi, считывая при этом некоторую клетку (с номером р), в которой записан символ aj. Поскольку машина в момент s не остановилась, в ее программе должна присутствовать команда одного из видов

(a) q _i a _j → a _k С q _m

(б) q _i a _j → a_j П q _m

(в) q _i a _j → a_j Л q _m

Если имеется команда типа (а), то одна из формул множества Д есть

" x " y " t ((t Qi x t Aj x) → (t ' Qk x t Ap x (y ≠ x → (t A0 y → t 'A0 y … t An y → t 'An y))))

Она вместе с (5), (6) и (8) влечет за собой формулу

0 (s+1) Qi0 (p) 0 (s+1) Aj10 (p1) … 0 (s+1) Aj0 (p) … 0 (s+1) Ajv0 (pv) " y ((y ≠ 0 (p1) … y ≠ 0 (p) … y ≠ 0 (pv)) → 0 (s+1) A0 y),

являющуюся описанием времени s + 1.

Еcли имеется команда типа (б), то одна из формул множества Д есть

" x " y " t ((t Q_i x t A_j x) → (t ' Q_k x ' (t A₀ y → t 'A₀ y) … (t A_n y → t 'A_n y)))

Из этого предложения, объединенного с (5), (6) и (8), следует, что для некоторого символа ,

0^(s+1)Q_i0^(p+1) 0^(s+1) … 0^(s+1)A_j0^(p+1) … 0^(s+1) " y ((y ≠ … y ≠ 0⁽^p⁺¹⁾ … y ≠ ) → 0⁽^s⁺¹⁾A₀ y),

а это предложение является описанием времени s + 1.

Если имеется стрелка типа (в), то одна из формул множества Д есть

" x " y " t ((t Q_i x ' t A_j x ') → (t ' Q_k x (t A₀ y → t 'A₀ y) … (t A_n y → t 'A_n y)))

Тогда существует такой символ a q, что из последней формулы, объединенной с (5), (6), (8), следует

0^(s+1)Q_i0^(p-1) 0^(s+1) … 0^(s+1)A_j0^(p-1) … 0^(s+1) " y

((y y 0⁽^p^-1) … y ) → 0⁽^s⁺¹⁾A₀ y)

а это предложение является описанием времени s + 1.

Во всех трех случаях множество Д имеет следствием некоторое описание времени s + 1, и тем самым неразрешимость логики первого порядка доказана.