Свойства бинарных операций

Обзор некоторых основных алгебраических понятий

Алгебраические структуры. Множества. Алгебраические операции,

Предметом изучения современной алгебры являются алгебраические структуры.

· Под алгебраической структурой понимается множество, на котором определена система алгебраических операций, подчиняющихся аксиомам (законам) соответствующей структуры.

(Алгебраическая структура это множество с введенными операциями)

 

· Множеством в математике принято называть совокупность объектов произвольной природы, объединенных некоторым общим признаком, а сами объекты – элементами множества.

Обозначаются множества: A,B,C, …а их элементы: a,b,c,…

Знак принадлежности элемента а множеству А обозначается символом

Одним из самых простых способов задать множество - дать полный список его элементов (применим к конечным множествам). Бесконечные множества задают путем указания характеристического свойства, т.е. свойства, которым обладают все элементы множества и только они. или

Множество M - есть множество всех x, обладающих свойством P.

Для формулировки характеристических свойств, а также других утверждений, применяются сокращения: символ (квантор всеобщности); (, а также другие символы и др.,

Пример,

n : (аксиома Архимеда)

Определим понятие алгебраической операции, обобщающее арифметические действия. Пусть E –произвольное непустое множество.

· Говорят, что на множестве Е задана бинарная алгебраическая операция если каждой упорядоченной паре однозначно поставлен в соответствие элемент : .

Note. Бинарная операция, это операция между двумя операндами. Обозначается: (Е, .

(тернарные, квартернарные)

Примеры бинарных операцией:
(R,+), (, (

Для облегчения изучения множеств с операциями их классифицируют по свойствам операций.

Свойства бинарных операций

1). Коммутативность (возможность перестановки объектов) Чтобы применить алгебраическую операцию, определенную для двух элементов, к трем элементам нужно заключить в скобки либо два первых элемента, либо два последних.

2). Ассоциативность (возможность произвольного распределения скобок)

Операции сложение и умножение подчиняются законам коммутативности и ассоциативности на любом из множеств .

Для опровержения к-л свойства достаточно привести контр пример.

Требуется опровергнуть следующие утверждения:

Утверждение	Контр пример
( вычитание коммутативная операция
( возведение в степень коммутативная операция

( вычитание не коммутативная операция

( возведение в степень некоммутативная операция