практический вопрос Предел функции в точке

Предел числовой последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности.

 

Число называется пределом последовательности , если для каждого существует такой номер , что для всех выполняется неравенство , т. е. .

При этом пишут, что или при .

Кратко это определение можно записать так:

Интервал называют - окрестностью точки .

 

 

- окрестность точки

Проще говоря, число называется пределом последовательности , если в любой -окрестности точки лежат все члены последовательности , за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

 

Основные свойства пределов.

Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если и две сходящиеся последовательности, то:

Если члены последовательностей , , удовлетворяют неравенствам

 

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Если никакое число не является пределом последовательности, то она называется расходящейся.

Можно показать, что числовая последовательность имеет только один предел.

практический вопрос Предел функции в точке

1. Вычисление предела в точке

Подставить предельное значение аргумента в исследуемое выражение. Если при этом получено конечное значение, то оно является пределом данной функции. (объясняю проще, под лим у вас н будет стремиться к какому то числу, подставьте это чисто в функцию, если получится число, то оно является пределом функции. Если получается 0\0 или бесконечность на бесконечность, то делаем ещё манипуляции, описанные дальше. Пример:

только мы проще расписываем, мы сразу подставляем вместо х единицу, так как под лим х стремится к единице, тогда получится в числителе 3*1+2=5 а в знаменателе 2*1-7=-5, тогда 5\-5=-1 это и будет пределом. Молитесь чтобы вам такое попалось а не то что будет дальше)

 

 

2. Определить тип неопределённости 0\0 или бесконечность\бесконечность

Помним что 1\0= бесконечность и 1\бесконечность=0 и это не является неопределённым определителем.

Если бесконечность\бесконечность то

Степень числителя равна семи, то есть m=7. Степень знаменателя также равна семи n=7. Разделим и числитель и знаменатель на .

Предел 1\3. Тоже несложно =)

Если 0\0

 

Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1, то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

Предел 4. Тут сложнее. Не забываем перед х квадрат видеть число как в нашем примере 3.Удачи=)