Оптической разностью хода волн. 3 страница

угол падения i_B — угол Брюстера, или угол полной поляризации, п₂₁ = п₂/п₁ — относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Преломленный луч всегда частично поляризован, причем при падении под углом Брюстера степень его поляризации наибольшая. Используя (20.3) и закон преломления, нетрудно показать, что при полной поляризации отраженного света угол между преломленным и отраженным лучами равен 90°.

Таким образом, граница раздела двух диэлектриков или диэлектрика и вакуума служит поляризатором.

В качестве поляризатора используют также стопу стеклянных пластин. Независимо от угла падения степень поляризации преломленного луча возрастает по мере прохождения пластин, как это схематически показано на рис. 20.6.

¹ При этом возможна и круговая поляризация, которая здесь не рассмотрена.

§ 20.3. Поляризация света при двойном лучепреломлении

Некоторые прозрачные кристаллы обладают свойством двойного лучепреломления: при попадании света на кристалл луч раздваивается. Для одного из лучей выполняются обычные законы преломления, и поэтому этот луч называют обыкновенным, для другого — эти законы не выполняются и луч называют необыкновенным.

Двойное лучепреломление при нормальном падении света на поверхность кристалла показано на рис. 20.7: обыкновенный (о) луч, как это следует из закона преломления, проходит не преломляясь, необыкновенный (е) — преломляется.

Направления, вдоль которых двойного лучепреломления нет и оба луча, обыкновенный и необыкновенный, распространяются с одной скоростью, называют оптическими осями кристалла' (штриховая линия на рис. 20.7). Если такое направление одно, то кристаллы называют одноосными (они и рассматриваются в этом параграфе). К ним принадлежит исландский шпат (разновидность углекислого кальция СаСО₃ — кристалл гексагональной системы), кварц, турмалин (сложный алюмосиликат, кристаллы тригональ-

ной системы) и др. Плоскость, проходящая через оптическую ось и падающий луч, называется главной плоскостью кристалла. Колебания обыкновенного луча перпендикулярны главной плоскости, а необыкновенного — лежат в главной плоскости кристалла, т. е. эти лучи поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Двойное лучепреломление обусловлено особенностями распространения электромагнитных волн в анизотропных средах: амплитуды вынужденных колебаний электронов зависят от направлений этих колебаний.

Ход обыкновенных и необыкновенных лучей в кристаллах можно наглядно представить с помощью волновых поверхностей. Предположим, что внутри кристалла произошла световая вспышка и во все стороны распространяются две волны: обыкновенная и необыкновенная. В некоторый момент времени их волновые поверхности займут положения, изображенные на рис. 20.8 (а — для положительных кристаллов,— для отрицательных). Сферы соответствуют обыкновенным волнам, имеющим по всем направлениям одинаковую скорость v₀; эллипсоиды — необыкновенным волнам, скорость и_е которых зависит от направления. Вдоль оптических осей ОО' скорость обыкновенной и необыкновенной волн

одинакова и равна

v_o = c/n_o, (20.4)

где п₀ — показатель преломления обыкновенного луча, зависящий от рода кристалла.

Для положительных кристаллов v_e <= v₀, для отрицательных v_e >= v₀. Наибольшее различие скоростей обыкновенная и необыкновенная волны имеют в направлениях, перпендикулярных оптической оси; для этих направлений вводят показатель преломления п_е необыкновенного луча. У исландского шпата (отрицательный кристалл) п_о = 1,6584, п_е = 1,4864; у кварца (положительный кристалл) п₀ - 1,5442, п_е = 1,5533 (данные приведены для желтой линии натрия= 589,3 нм).

Двоякопреломляющие кристаллы непосредственно не используются как поляризаторы, так как пучки обыкновенных и необыкновенных лучей слишком мало расходятся или даже перекрываются. Однако из этих кристаллов изготовляют специальные поляризационные призмы.

Рассмотрим наиболее распространенную призму, предложенную У. Николем (призма Николя, или просто николь).

Николь представляет собой призму из кристалла исландского шпата, разрезанного по диагонали и склеенного канадским бальзамом¹ К (рис. 20.9). Для него п = 1,550; это значение лежит между показателями преломления обыкновенного и необыкновенного лучей исландского шпата. Это позволяет, подобрав соответствующим образом углы призмы, обеспечить полное отражение обыкновенного (о) луча на границе с канадским бальзамом. Отраженный луч в этом случае поглощается зачерненной нижней гранью или выводится из кристалла. Необыкновенный (е) луч выходит из николя параллельно нижней грани.

На ином принципе основаны поляризаторы, изготовляемые из турмалина, герапатита (сернокислый иодхинин) и некоторых других кристаллов, которые наряду с двойным лучепреломлением могут поглощать один из лучей значительно сильнее, чем другой (дихроизм). Так, в пластинке турмалина толщиной около 1 мм обыкновенный луч практически полностью поглощается и вышедший свет плоскополяризован.

Из мелких кристалликов герапатита выкладывают значительные площади на целлулоидной пленке. Для их ориентации используют электрическое поле. Такие устройства (поляроиды) могут работать как поляризаторы (анализаторы).

Основным недостатком турмалина и поляроидов по сравнению с николем являются их плохие спектральные характеристики. Белый свет после прохождения этих поляризационных устройств становится окрашенным, в то время как николь прозрачен в видимой части спектра.

Достоинство поляроидов — большая поверхность, что позволяет использовать широкие световые пучки.

¹ Это смолообразное вещество — живица, получаемая из канадской пихты.

§ 20.4. Вращение плоскости поляризации. Поляриметрия

Вращение плоскости поляризации, обнаруженное впервые на кристаллах кварца, заключается в повороте плоскости поляризации плоскополяризованного света при прохождении через вещество. Вещества, обладающие таким свойством, называют оптически активными.

Пусть монохроматический свет падает от источника -S на систему поляризатор Р — анализатор А (рис. 20.10), которые поставле-

ны скрещенно, т. е. их главные плоскости взаимно перпендикулярны. В этом случае свет до наблюдателя не дойдет, так как анализатор не пропустит плоскополяризованный свет в соответствии с законом Малюса (j = 90°).

Если между поляризатором и анализатором поместить кварцевую пластинку так, чтобы свет проходил вдоль ее оптической оси, то в общем случае свет дойдет до наблюдателя. Если же анализатор повернуть на определенный угол, то можно вновь добиться затемнения. Это свидетельствует о том, что кварцевая пластинка вызвала поворот плоскости поляризации на угол, соответствующий повороту анализатора для получения затемнения.

Используя в опыте свет различных длин волн, можно обнаружить дисперсию вращения плоскости поляризации (вращательную дисперсию), т. е. зависимость угла поворота от длины волны. Кварцевая пластинка толщиной 1 мм поворачивает плоскость поляризации приблизительно на следующие углы (табл. 27).

Таблица 27

Для света: а, град красного 15 желтого 21 фиолетового 51

Для определенной длины волны угол а поворота плоскости поляризации пропорционален расстоянию I, пройденному светом в оптически активном веществе:

а = а_ог, (20.5)

где а₀ — коэффициент пропорциональности, или постоянная вращения (вращательная способность), град/мм.

Существует две модификации кварца, каждая из которых поворачивает плоскость поляризации в определенном направлении: по часовой стрелке — правовращающий (положительный) кварц, против часовой стрелки¹ — левовращающий (отрицательный). Постоянная вращения в обоих случаях одинакова.

Оптически активными являются также многие некристаллические тела: чистые> жидкости (например, скипидар), растворы оптически активнь1х веществ в неактивных растворителях (раствор сахара в воде), некоторые газы и пары (пары камфоры).

Для растворов был установлен следующий количественный закон:

а = [ а_о]С1, (20.6)

где С — концентрация оптически активного вещества, I — толщина слоя раствора, [а₀] — удельное вращение, которое приблизительно обратно пропорционально квадрату длины волны и зависит от температуры и свойств растворителя.

Соотношение (20.6) лежит в основе весьма чувствительного метода измерения концентрации растворенных веществ, в частности сахара.

Этот метод (поляриметрия, или сахариметрия) используют в медицине для определения концентрации сахара в моче, в биофизических исследованиях, а также в пищевой промышленности. Соответствующие измерительные приборы называют поляриметрами или сахариметрами.

Поляриметр позволяет измерять не только концентрацию, но и удельное вращение. Используя различные светофильтры, можно найти зависимость удельного вращения от длины волны (дисперсию оптической активности), в настоящее время для этих целей применяют специальные приборы — спектрополяриметры.

Вращение плоскости поляризации растворами обусловлено взаимодействием электромагнитной волны с асимметричными молекулами растворенного оптически активного вещества. Такие молекулы не обладают зеркальной симметрией, т. е. при их «отражении» в зеркале получается иная форма. «Левая» молекула является зеркальным отображением «правой». Молекулы с одинаковой химической формулой, но разной структурой поворачивают плоскость поляризации в разных направлениях.

Характерно, что все важнейшие биологические молекулы (белки, нуклеиновые кислоты, полисахариды и т. п.) асимметричны и могут быть представлены попарно антиподами, каждый из которых есть зеркальное отображение другого. Однако при этом в веществах биологического, а не синтетического происхождения обычно представлен только один оптический антипод. Так, например, сахар, изготовленный обычным путем, является правовращающим, но при синтезе химическими методами получают смесь, содержащую равное количество «правых» и «левых» молекул. Такая смесь, называемая рацемической, не вращает плоскости поляризации, так как происходит взаимная компенсация действия различных молекул. Если в раствор синтетически полученного сахара поместить бактерии, которые питаются сахаром, то они будут усваивать только молекулы правовращающего сахара.

Рацемическая смесь является менее упорядоченной системой и имеет большую энтропию, чем такая же совокупность молекул одного типа. Это термодинамическое различие синтетического и естественного может быть иллюстрацией физического смысла энтропии биологических систем.

Поляриметрию применяют не только для определения концентрации растворов, но и как метод исследования структурных превращений, в частности в молекулярной биофизике. В качестве примера на рис. 20.11 приведен график изменения удельного вращения [а₀] в одном из полипептидов в зависимости от состава растворителя, являющегося бинарной смесью хлороформа СНС1₃ и дихлоруксусной кислоты СНС1₂СООН. При 80% дихлоруксусной кислоты происходит резкое падение оптической активности, что свидетельствует об изменении конформации молекул полипептида.

¹ Направление вращения устанавливается относительно наблюдателя, смотрящего навстречу световому лучу.

§ 20.5. Исследование биологических тканей в поляризованном свете

Рассматривая прозрачные биологические объекты в микроскопе, трудно выявить различные структуры, поэтому приходится применять некоторые специальные методики; в их числе поляризационная микроскопия.

Поляризационный микроскоп аналогичен обычному биологическому микроскопу, но имеет поляризатор перед конденсором и анализатор в тубусе между объективом и окуляром. Предметный столик может вращаться вокруг оптической оси микроскопа. Таким образом, объект освещают поляризованными лучами и рассматривают через анализатор.

Если скрестить поляризатор и анализатор, то поле зрения будет темным, таким же оно останется при помещении на предметный столик изотропных прозрачных тел. Анизотропные предметы изменяют поле зрения в соответствии с тем влиянием, которое они окажут на направление плоскости колебаний поляризованного света.

Так как некоторые ткани (мышечная, костная, нервная) обладают оптической анизотропией, то возможна поляризационная микроскопия биологических объектов. При скрещенных поляризаторе и анализаторе будут видны только те волокна, анизотропия которых изменяет поляризованный свет.

Поляризованный свет можно использовать в модельных условиях для оценки механических напряжений, возникающих в костных тканях. Этот метод основан на явлении фотоупругости, которое заключается в возникновении оптической анизотропии в первоначально изотропных твердых телах под действием механических нагрузок.

Из прозрачного изотропного материала, например плексигласа, создают плоскую модель кости. В скрещенных поляроидах эта модель незаметна, так как выглядит темной. Прикладывая нагрузку, вызывают анизотропию плексигласа, что становится заметным по характерной картине полос и пятен (рис. 20.12). По этой картине, а также по ее изменению при увеличении или уменьшении нагрузки можно делать выводы о механических напряжениях, возникающих в модели, а следовательно, и в натуре.

ГЛАВА 21

Геометрическая оптика

Геометрическая (лучевая) оптика — раздел, в котором изучав ют законы распространения света на основании представления о световом луче как линии, вдоль которой распространяется энергия световой волны.

В главе законы геометрической оптики применяются к рассмотрению конкретных оптических систем. Наряду с этим излагаются также вопросы физики глаза.

§ 21.1. Геометрическая оптика как предельный случай волновой оптики

В предыдущих главах были рассмотрены явления, для описания которых необходимо учитывать волновую природу света. Однако во многих практических вопросах, таких, как формирование светового пучка, образование изображения и др., волновые свойства света могут оказаться несущественными. Более того, учет интерференции, дифракции и поляризации в этих случаях лишь усложнит получение конечного результата. Для решения такого рода задач применяют законы геометрической оптики.

Геометрическая оптика есть предельный случай волновой оптики при стремлении длины волны к нулю. Это можно пояснить на примере дифракционной решетки. Из (19.26) приследует, т. е. получаем обычное для линзы фокусирование параллельного пучка света в точке О фокальной плоскости (см. рис. 19.10).

Для выяснения предельных возможностей оптических систем вновь приходится учитывать волновой характер света. Поэтому в этой главе частично рассматриваются вопросы интерференции и дифракции.

Геометрическая оптика является примером теории, позволившей при небольшом числе основных понятий и законов получить много практически важных результатов. В теории оптических устройств она и сейчас имеет большое значение.

§ 21.2. Аберрации линз

Приведем формулу тонкой линзы, известную из школьного курса:

(21.1)

где а₁ — расстояние от предмета до линзы, а₂ — расстояние от изображения до линзы, Ry и R₂ — радиусы кривизны передней и задней сферических поверхностей линзы соответственно, п — показатель преломления вещества, из которого изготовлена линза; окружающая среда — воздух. Фокусное расстояние для такой линзы

(21.2)

Учитывая (21.2), формулу тонкой линзы представим в виде

(21.3)

Соотношение (21.1) полученодля тонкой линзы при следующих предположениях: 1) изображение формируется узкими приосевыми (параксиальными) пучками, составляющими небольшие углы с главной осью системы; 2) показатель преломления для всех длин волн одинаков. При выполнении таких условий создается точечное изображение, т. е. каждая точка предмета дает одну точку изображения.

Эти условия не реализуются на практике. Показатель преломления зависит от длины волны (дисперсия). Точки предмета лежат в стороне от оптической оси, что не отвечает первому условию. Применение только параксиальных лучей существенно ограничило бы световые потоки.

Все это приводит к аберрациям¹, или погрешностям, реальных оптических систем, существенно снижающим качество оптических изображений. Однако, зная причины аберраций, можно добиться их устранения, если соответствующим образом подобрать систему линз.

Рассмотрим некоторые основные аберрации линзы.

Сферическая аберрация. Она заключается в том, что периферические части линзы сильнее отклоняют лучи, идущие от точки S на оси, чем центральные (рис. 21.1). Вследствие этого изображение светящейся точки на экране Э имеет вид светлого пятна. Для устранения сферической аберрации создают систему из вогнутой и выпуклой линз.

Астигматизм². Это недостаток оптической системы, при котором сферическая световая волна, проходя оптическую систему, деформируется и перестает быть сферической.

Различают два вида астигматизма. Один из них обусловлен падением на оптическую систему лучей, составляющих значительный угол с оптической осью (астигматизм косых пучков).

Пусть точка А предмета расположена вне главной оптической оси (рис. 21.2, а); из всех лучей, идущих от этой точки, выделим небольшой элементарный пучок таким образом, чтобы его центральный луч AS лежал в одной плоскости с главной оптической осью ОО'. Любую плоскость, проходящую через главную оптическую ось, называют меридиональной; в данном примере возьмем плоскость, в которой лежат центральный луч элементарного пучка и главная оптическая ось (на рис. 21.2, а — плоскость чертежа).

При наклонном падении элементарного пучка линза создаст два изображения точки А в виде отрезков прямой. Один из них лежит в меридиональной плоскости и отчетливо виден на экране II (см. рис. 21.2, а), другой — в перпендикулярной плоскости, которую называют сагиттальной, он отчетливо виден на экране I. В промежутке между плоскостями I и II наблюдается пятно рассеяния, имеющее форму эллипса или окружности (рис. 21.2, б). Если предметом является отрезок линии, то качество изображения зависит от ориентации отрезка. Отрезки, расположенные в меридиональных плоскостях³, дают четкое изображение в плоскости II, а расположенные в сагиттальных плоскостях — в плоскости I.

Для демонстрации астигматизма косых пучков удобна сетка, представленная на рис. 21.3, а. Помещая ее как предмет перпендикулярно оптической оси, зададим систему отрезков, лежащих в меридиональных плоскостях (радиусы) и сагиттальных (окружности). На рис. 21.3, б, в показаны изображения этих отрезков, полученные в соответствующих плоскостях.

Для исправления астигматизма создают сложные оптические системы, состоящие из нескольких линз, благодаря чему удается образовать хорошие изображения при углах падения лучей 50—70°.

Другой вид астигматизма обусловлен асимметрией оптической системы. Линзы с такой аберрацией называют астигматическими. Эти линзы, как и в случае астигматизма косых пучков, создают изображение, в котором контуры и линии, ориентированные в разных направлениях, имеют разную резкость.

Дисторсия. Этот вид аберрации возникает вследствие того, что лучи, посылаемые предметом в систему, составляют большие углы с оптической осью, при этом зависимость линейного увеличения от угла пучка приводит к нарушению подобия изображения и предмета. Типичные проявления дисторсии показаны на рис. 21.6: а — подушкообразная; б — бочкообразная; предметом является сетка с квадратными ячейками.

Подбирая систему из нескольких линз с противоположным характером дисторсии, можно исправить эту аберрацию.

Хроматическая аберрация. Как видно из (21.2), фокусное расстояние линзы определяется показателем преломления, который зависит от длины волны. Поэтому пучок белого света, идущий параллельно главной оптической оси, будет фокусироваться в разных ее точках, разлагаясь в спектр (рис. 21.7; ф — фиолетовые лучи, к — красные), кружок на экране окажется окрашенным. В этом заключается хроматическая аберрация, которая очень часто сопутствует изображениям в линзах.

Для исправления этого вида аберрации создают ахроматические оптические системы из линз, которые изготовляют из стекол с разной дисперсией: ахроматы и апохроматы.

В оптических устройствах используют системы из линз, называемые анастигматами, в которых исправлены не только хроматическая аберрация, но и сферическая, а также и астигматизм.

Существуют и другие виды аберраций, которые здесь не рассматриваются.

Наиболее наглядно астигматизм такого типа можно продемонстрировать на цилиндрической линзе (рис. 21.4). Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, преломляется линзой L только в плоскостях, перпендикулярных образующей цилиндра, поэтому на экране Э, расположенном в фокальной плоскости линзы, наблюдается прямая линия, а не точка, как при сферических линзах. Если с помощью цилиндрической линзы отобразить на экране сетку из тонкой проволоки с квадратными ячейками (рис. 21.5, а), то наиболее четкое изображение получается в виде системы параллельных линий, направленных вдоль образующей цилиндра (рис. 21.5, б, в; изображения соответствуют двум взаимно перпендикулярным положениям цилиндрической линзы).

Одновременное устранение всех аберраций может оказаться слишком слояшой или даже неразрешимой задачей, поэтому обычно избавляются только от тех погрешностей, которые существенно мешают основному назначению оптической системы. Так, для объективов микроскопов важно устранение сферической аберрации, возникающей при рассматривании объектов, лежащих вблизи фокуса и отображаемых широкими пучками.

¹ Aberratio (лат.) — уклонение.

²Астигматизм — не точечный. Точке предмета соответствует не одна точка изображения.

³Предполагается, что предмет лежит в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси.

§ 21.3. Понятие об идеальной центрированной оптической системе

Реальные оптические системы состоят из различных деталей и часто включают в себя несколько линз (см. § 21.2). При произвольном расположении линз расчет и построение изображений могут быть достаточно сложными.

На практике часто используют системы сферических поверхностей (линз), центры которых лежат на одной прямой — главной оптической оси. Такие оптические системы называют центрированными.

Рассмотрим некоторые выводы теории идеальных центрированных оптических систем, предложенной Гауссом. В таких системах каждой точке или линии пространства предметов соответствует только одна точка или линия пространства изображений. Соответственные пары точек или линий обоих пространств называют сопряженными. К идеальной центрированной оптической системе приближаются такие, в которых используются параксиальные лучи. Такая система есть физическая абстракция, позволяющая рассчитывать реальные системы с учетом степени их отклонения от идеальной.

Укажем характерные точки и плоскости центрированной оптической системы (рис. 21,8; Q₁ и Q₂ — крайние сферические поверхности), принятые в теории Гаусса, с помощью которых можно построить изображения предметов.

Проведем в пространстве предметов луч A1 параллельный главной оптической оси О1О₂. В пространстве изображений ему сопряжен луч А₂, проходящий через точку F₂. Точка F₂ пространства изображений, сопряженная бесконечно удаленной точке пространства предметов, является вторым, или задним, фокусом системы.

Аналогично, лучу В₂ пространства изображений соответствует

луч В₁ пространства предметов, проходящий через точку F1 Точка.F 1 пространства предметов, сопряженная бесконечно удаленной точке пространства изображений, является первым, или передним, фокусом¹.

Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно главной оптической оси, называют фокальными.

Так как лучи А₁ и В1 попарно сопряжены лучам А₂ и В₂, то сопряжены и точки C 1 и С₂ пересечения этих лучей или их продолжений. Проведя через С1 и С₂ плоскости, перпендикулярные О1О₂, получим точки Ну и Н₂. Имеем попарное сопряжение этих плоскостей, точек Н1 и Н₂ и отрезков С1Н1 и С₂Н₂.

Отрезки С₁Н₁ и С₂Н₂ не только сопряжены, но и равны (IC^ffJ = = |С₂Д"₂| = h) и имеют одинаковое направление относительно оптической оси (одинаковые знаки); следовательно, для них линейное увеличение р* = +1. Оптическая система имеет две сопряженные плоскости, перпендикулярные оптической оси, для которых линейное увеличение сопряженных отрезков b = +1; такие плоскости и соответствующие точки Н₁ и Н₂ главной оптической оси называют главными.

Расстояния между фокусами и соответствующими главными точками называют фокусными расстояниями: