Напряженностьи потенциал — характеристики электрического поля

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, равная отношению силы, действующей в данной точке поля на точечный заряд, к этому заряду

Напряженность — вектор, направление которого совпадает с направлением силы, действующей в данной точке поля на положительный точечный заряд.

Напряженность электрического поля в произвольных точках аналитически задается следующими тремя уравнениями:

где Е_x, Е_y и Е_z — проекции вектора напряженности на соответствующие координатные оси, введенные для описания поля. Электрическое поле графически удобно представлять силовыми линиями, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности в соответствующих точках поля.

Обычно эти линии проводят с такой густотой, чтобы число линий, проходящих сквозь единичную площадку, перпендикулярную им, было пропорционально значению напряженности электрического поля в месте расположения площадки.

Представим себе, что заряд q перемещается в электрическом поле дотраектории (рис. 12.1). Силы поля при этом совершают работу, которую можно выразить через напряженность [см. (12.1)]:

где dl — элементарное перемещение; Е_l — проекция вектора Е на направление dl. Покажем, что работа сил электростатического поля (электрического поля неподвижных зарядов) не зависит от траектории, по которой перемещается заряд в этом поле. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными. Пусть заряд q переместился по замкнутой траектории 1-а-2-б-1 (рис. 12.1). Так как поле электростатическое, то положение зарядов, создающих поле, при этом не изменилось, и потенциальная энергия, зависящая от их взаимного положения, осталась прежней. Поэтому работа сил электростатического поля по перемещению заряда по замкнутой траектории равна нулю:

Так как силы, действующие на заряд q, определяются его положением в поле, то ражения для работ сил поля при перемещении заряда по одной и той же траектории в противоположных направлениях отличаются только знаком:

Подстановка этого выражения в(12.4) дает

Равенство (12.5) означает, что работа сил электростатического поля не зависит от траектории заряда, а зависит от величины заряда, положения начальной и конечной точек траектории и от напряженности поля.

На основании этого свойства вводят понятие разности потенциалов Δφ, которая для электростатического поля равна напряжению U.

Разностью потенциалов между точками поля называют отношение работы, совершаемой силами поля при перемещении точечного положительного заряда из одной точки поля в другую, к этому заряду:

где φ₁ и ф₂ — потенциалы в точках 1 и 2 электрического поля, U₁₂ — напряжение между этими точками. Разность потенциалов между двумя точками зависит от положения выбранных точек и от напряженности электрического поля, как следует из (12.6).

Наряду с разностью потенциалов в качестве характеристики электрического поля используют понятие потенциала. Однако для данной точки поля оно имеет однозначный смысл только в том случае, если задан потенциал какой-либо произвольной точки поля. На практике принято считать, что потенциал проводников, соединенных с землей, или потенциал шасси, на котором смонтировано радиоустройство (и в том и в другом случаях говорят о заземлении), равны нулю. В теоретических задачах обычно считают равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек.

Вычислим потенциал поля точечного заряда, расположенного в однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε (рис. 12.2). Пусть точки 1 и 2 находятся на одной силовой линии на расстояниях соответственно r₁ и r₂ от источника поля — заряда Q. Проинтегрируем выражение (12.6) по отрезку 1 — 2, учитывая, что в соответствии с законом Кулона (для точечного заряда)

где ε₀ ~ 8,85 • 10 ^- ¹² Ф/м — электрическая постоянная.

Предположим, что потенциал в бесконечно удаленной точке равную нулю: φ₂ → 0 при r₂ →∞. Тогда из (12.7) получаем

или в более общем виде

Могли быть и другие предположения относительно значения потенциала в бесконечно удаленной точке, однако сделанное выше допущение привело к наиболее простому выражению (12.8), по которому обычно и вычисляют потенциал поля точечного заряда.

Потенциалы электрического поля в различных точках наглядно можно представить в виде поверхностей одинакового потенциала (эквипотенциальных поверхностей). Обычно проводят эквипотенциальные поверхности, отличающиеся от соседних на одно и то же значение потенциала. На рис. 12.3 изображены эквипотенциальные поверхности (штриховые линии) и силовые линии (сплошные) поля двух разноименных одинаковых точечных зарядов.

Аналитически зависимость электрического потенциала от координат в разных точках поля задается некоторой функцией координат

которая в частных случаях может иметь, например, вид (12.8). Так как напряженность электрического поля определяется через силу, а потенциал — через работу сил поля, то эти характеристики связаны между собой аналогично силе и работе. Интегральная зависимость напряженности поля и потенциала дается формулой (12.6) или выражением

Здесь с учетом знака «—» изменены пределы интегрирования: верхнему пределу интеграла соответствует в левой части уменьшаемое φ₂, нижнему — вычитаемое φ₁.

Получим дифференциальную связь между Е и φ. Предположим, что точки 2 и 1 расположены сколь угодно близко, тогда из (12.10) получим

Производная от потенциала по направлению dφ/dl характеризует отношение приращения потенциала dφ к соответствующему расстоянию dl в некотором направлении l; E_l — проекция вектора Е на это направление.

Смысл формулы (12.11) виден из рис. 12.4. В точке 0 проведен вектор Е, который спроецирован на направления l_1, l₂ и 1₃. Эти проекции по модулю равны производным от потенциала по соответствующим направлениям: |dφ/dl₁|, |dφ/dl₂|, |dφ/dl₃|. Наибольшее изменение потенциала, приходящееся на единицу длины, происходит вдоль прямой, совпадающей с Е; знак «минус» в (12.Назначает, что потенциал быстрее всего убывает в направлении Е и быстрее всего возрастает в направлении - Е. Можно сказать, что вектор Е равен взятому с обратным знаком градиенту потенциала:

В направлении, перпендикулярном силовой линии, имеем

Из этого следует, что силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны. Если поле однородно, например поле плоского конденсатора, то из формулы (12.6) находим, что для двух точек, расположенных на одной силовой линии на расстоянии l,

Учитывая (12.11) и (12.9), можно записать проекции вектора напряженности электрического поля по трем координатным осям:

Тогда напряженность определяют по формуле

Если поле создано точечными зарядами, то напряженность в некоторой точке можно вычислить как векторную сумму напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом отдельно (принцип суперпозиции):

а электрический потенциал в этой точке — как алгебраическую сумму потенциалов от каждого заряда, предполагая, что потенциал бесконечно удаленных точек равен нулю:

Существующие электроизмерительные приборы рассчитаны на измерение разности потенциалов, а не напряженности. Ее можно найти из этих измерений, используя связь E и φ.

Электрический диполь

Электрическим диполем (диполем) называют систему, состоящую из двух равных, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Основной характеристикой диполя (рис. 12.5) является его электрический момент (дипольный момент) — вектор, равный произведению заряда на плечо диполя I, направленный от отрицательного заряда к положительному:

Единицей электрического момента диполя является кулон-метр.

Поместим диполь в однородное электрическое поле напряженностью Е (рис. 12.6).

На каждый из зарядов диполя действуют силы F₊ = qE и F_ = = -qE, эти силы равны по модулю, противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен

По векторной форме

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует момент силы, зависящий от электрического момента и ориентации диполя, а также напряженности поля.

Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии (рис. 12.7). На него действуют силы

s где Е₊иЕ_ — напряженности поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис. 12.7 Е_ > Е₊).

Значение равнодействующей этих сил

Введем отношение (Е_ — Е₊)/1, характеризующее среднее изменение напряженности, приходящееся на единицу длины плеча дипо л я. Так как обычно плечо невелико, то приближенно можно считать

где dE/dх — производная от напряженности электрического поля понаправлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (12.23)следует, что

тогда формулу (12.22) можно представить в виде

Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического Момента и степени неоднородности поля dE/dx. Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует еще и момент силы. Таким образом, свободный диполь ориентируется вдоль силовых линий и втягивается в область больших значений напряженности поля.

1. 1. 1.

Многие медицинские приборы выдают информацию на регистрирующем устройстве (например, электрокардиограф), поэтому следует учитывать погрешности, характерные для этой формы записи (см. § 17.5).

До сих пор рассматривался диполь, помещенный в электрическое поле, однако сам диполь также является источником поля. На основании (12.18) запишем выражение для электрического потенциала поля, созданного диполем, в некоторой точке А, удаленной от зарядов соответственно на расстояния r и r₁ (рис. 12.8):

где а — угол между вектором р и направлением от диполя на точку А (рис. 12.8). Используя (12.26), из (12.25) получаем

Рассмотрим некоторые приложения формулы (12.27).

Пусть диполь, электрический момент которого равен р, находится в точке О (рис. 12.9), а его плечо мало. Используя (12.27), запишем разность потенциалов двух точек поля А и В, равноотстоящих от диполя (углы а_А и а_в показаны на рис. 12.9):

Угол между р и прямой АВ или ОС обозначим α, / AOB = β углы а_А = а + β/2 + α/2, а_в = а - β/2 + α/2.

Учитывая эти равенства, выполним тригонометрические преобразования:

Подставляя (12.29) в (12.28), имеем

Как видно из (12.30), разность потенциалов двух точек поля диполя, равноотстоящих от него (при данных е и г), зависит от синуса половинного угла, под которым видны эти точки от диполя (рис. 12.10), и проекции электрического момента диполя р cos α на прямую, соединяющую эти точки (рис. 12.11). Эти замечания справедливы в рамках тех ограничений, которые были сделаны при выводе формулы (12.27).

Пусть диполь, создающий электрическое поле, находится в центре равностороннего треугольника ABC (рис. 12.12). Тогда на основании (12.30) можно получить, что напряжения на сторонах этого треугольника относятся как проекции вектора р на его стороны:

Понятие о мультиполе

Диполь является частным случаем системы электрических зарядов, обладающей определенной симметрией. Можно указать еще примеры симметричных систем зарядов (рис. 12.13). Общее название подобных распределений зарядов — электрические мультиполи.

Они бывают разных порядков (l = 0, 1, 2 и т. д.), число зарядов мультиполя определяется выражением 2¹. Так, мультиполем нулевого порядка, (2° = 1) является одиночный точечный заряд (рис. 12.13, а), мультиполем первого порядка (2¹ = 2) — диполь, мультиполем второго порядка (2² = 4) — квадруполь (рис. 12.13, б), мультиполем третьего порядка (2³ = 8) — октуполь (рис. 12.13, в) и т. д.

Потенциал поля мультиполя убывает на значительных расстояниях r от него пропорционально 1/r^l ⁺ ¹. Так, для заряда (l = 0) φ ~ 1/r, диполя (1 = 1) φ ~ 1/г², для квадруполя (l = 2) φ ~1/г³ и т. д.

Если заряд распределен в некоторой области пространства, то потенциал электрического поля в любой точке А вне системы зарядов можно представить в виде некоторого приближенного ряда:

Здесь г расстояние от системы зарядов до точки А с потенциалом φ; f₁, f_2,f_{3, …}— некоторые функции, зависящие от вида мультиполя, его зарядов и от направления на точку А. Первое слагаемое (12.32) соответствует монополю, второе — диполю, третье — квадруполю и т. д. В случае нейтральной системы зарядов первое слагаемое равно нулю. Если r так велико, что можно пренебречь всеми членами ряда, начиная с третьего, тогда из (12.32) получаем потенциал поля диполя [см. (12.27)].

§ 12.4. Дипольный электрический генератор (токовый диполь)

В вакууме или в идеальном изоляторе электрический диполь может сохраняться сколь угодно долго. Однако в реальной ситуации (электропроводящая среда) под действием электрического поля диполя возникает движение свободных зарядов и диполь либо экранируется, либо нейтрализуется.

Можно к диполю подключить источник напряжения, иными словами, клеммы источника напряжения представить как диполь. В этом случае, несмотря на наличие тока в проводящей среде, диполь будет сохраняться (рис. 12.14, а). Резистор R₁ является эквивалентом сопротивления проводящей среды, ξ — ЭДС источника, r — его внутреннее сопротивление (рис. 12.14, б).

На основании закона Ома для полной цепи, если r >> R_1>, то I = ξ/r.

Можно заключить, что в этом случае сила тока во внешней цепи будет оставаться почти постоянной, она почти не зависит от свойств среды (при условии r> > R₁). Такая двухполюсная система, состоящая из истока и стока тока, называется дипольным электрическим генератором или токовым диполем.

Между дипольным электрическим генератором и электрическим диполем имеется большая аналогия, которая основывается на общей аналогии электрического поля в проводящей среде и электростатического поля.

Проиллюстрируем эту аналогию на примере плоского конденсатора.

Пусть между пластинами плоского конденсатора находится среда с удельным электрическим сопротивлением р или, иначе, с удельной электрической проводимостью γ (γ = 1/ρ). Сопротивление между пластинами конденсатора, как для проводника с сечением S и длиной l, равно

Электрическая проводимость равна

Если сравнить (12.33) с выражением для емкости плоского конденсатора

то можно заключить: формула (12.33) для проводимости получается из формулы (12.34) для емкости заменой произведения εε₀ на γ. Суть аналогии электрического поля в проводящей среде и электростатического поля сводится к следующему:

— — — линии тока (электрическое поле в проводящей среде) совпадают с линиями напряженности электростатического поля при одинаковой форме электродов;

— — — в том и другом случаях многие формулы имеют тождественный вид, переход от одних формул к другим осуществляется заменой εε₀ на γ, q на I, С на G (или 1/С на R). Закон Ома G =I/U аналогичен формуле С = q/U.

Воспользуемся этой аналогией и получим выражение для токового диполя. Аналогично электрическому моменту диполя введем дипольный момент дипольного электрического генератора:

где l — расстояние между точками истока и стока тока. Потенциал поля дипольного электрического генератора выражается формулой, аналогичной (12.27):

(в безграничной среде). Конфигурации линий напряженности электростатического поля электрического диполя и линий напряженности электрического поля токового диполя (они же совпадают и с линиями тока) одинаковы (см. рис. 12.3). В соответствии с изложенным в § 12.3 можно ввести и понятие мультипольного электрического генератора.

По существу, электрический мультипольный генератор — это некоторая пространственная совокупность электрических токов (совокупность истоков и стоков различных токов).

Все, что было сказано выше о потенциалах полей системы зарядов (электростатическое поле), справедливо и для такого генератора (токового мультиполя) в слабо проводящей среде.