ВОПРОС 8. Виды производственных функций (производственные функции Леонтьева, Кобба-Дугласа, линейная)

Функция с фиксированными пропорциями факторов (функция Леонтьєва).

, (5.1)

где а ₁, а ₂ — параметри.

Известно несколько альтернативных систем (гипотез), которые виокремлюють функции этого вида:

а) предельная производительность первого фактора есть двухуровневой кусков-постоянной невозрастающей функцией от соотношения с нулевым нижним уровнем. Предельная производительность второго фактора - ненисходящая кусков-постоянная функция от с нулевым нижним уровнем;

б) функция есть розв'язком такой задачи математического программирования:

де у — сменная, которую оптимізують;

в) функция есть однородной, а эластичность замены факторов равняется нулю;

г) функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью вида

 

путем предельного перехода:

Функция Леонтьєва предназначена в основном для моделирования строго детермінованих технологий, которые не допускают отклонения от технологических норм и нормативов относительно использования ресурсов на единицу продукции. Как правило, она используется для формализованного описания мелкомасштабных или целиком автоматизированных объектов.

Функция Кобба-Дугласа

. (5.2)

Здесь также используется несколько систем гипотез, которые виокремлюють класс функций Кобба-Дугласа среди дважды дифференцированных функций от двух сменных:

а) эластичности выпуска за факторами есть постоянными:

.

Розв'язок этой системы дифференционных уравнений в частинних производных первого порядка належит к классу функций Кобба-Дугласа;

б) эластичность функции за одним из факторов есть постоянной, и функция есть однородной;

в) функция есть однородной, а эластичности уменьшения факторов за Алленом и Михайловським равняются единицы;

г) предельная производительность каждого фактора есть пропорциональной его средней производительности;

д) функция есть однородной как функция от х ₁, х ₂ и как функция от х ₁ за любого фиксированного х ₂;

е) функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью путем осуществления замены вида

и предельного перехода а ₃ ® 0. Функция Кобба-Дугласа наиболее частое используется для формализованного описания середньомасштабних хозяйственных объектов и экономики страны.

Линейная функція

. (5.3)

Предпосылки и гипотезы:

а) предельные производительност факторов есть постоянными:

,

а в нуле функция приобретает нулевого значения;

б) предельная производительность одного из факторов есть постоянной, и функция однородная первой степени:

;

в) функция однородная, и эластичность замены факторов, за Алленом, есть бесконечной;

г) эластичность выпуска за факторами обратно пропорциональная их средний производительности.

Линейная функция применяется для моделирования крупномасштабных систем (большая область, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции есть результатом одновременного функционирования большого количества разнообразных технологий. Особую роль сыграет гипотеза постоянности предельных производственных факторов ли их неограниченного замещения.

 

9. ВОПРОС 9. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева «затраты-выпуск»).

Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, которая содержит коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица есть базой экономико-математической модели межотраслевого баланса.

Допускает гипотеза, в соответствии с которой для производства единицы продукции в j -й области необходимое определенное количество затрат промежуточной продукции і- ї области, которые составляет a_ij, и эта величина не зависит от объемов производства в j -й области и есть довольно стабильной величиной в времени. Величины a_ij называют коэффициентами прямых материальных затрат и вычисляют таким образом:

 

(11.4)

Коэффициенты прямых материальных затрат показывают, какое количество продукции і- ї галузі необходимо израсходовать, если учитывать лишь прямые затраты, для производства единицы продукции j- ї области. С учетом формулы (11.4) систему уравнений баланса (11.2) можно записать в виде

Х_і Х_і (11.5)

Если ввести к рассмотрению матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А = (а_ij), вектор-столбик валовой продукции X и вектор-столбик конечной продукции Y:

это система уравнений (11.5) в матричной форме будет иметь вид

X = AX + Y. (11.6)

· Систему уравнений (11.5), в ли матричной форме (11.6), называют экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьєва, моделью "затраты - выпуск"). С помощью этой модели можно выполнить три варианта вычислений:

· " задавая в модели объемы валовой продукции каждой области (Х_i), можно определить объемы конечной продукции каждой области(Y_i):

Y = (E – A) X, (11.7)

где Е — единичная матрица n-го порядка;

· " задавая объемы конечной продукции всех областей (Y_i), можно определить объемы валовой продукции каждой области (Х_i):

X = (E – A)^–1 Y; (11.8)

" для ряда областей задавая объемы валовой продукции, а для остатка - объемы конечной продукции, можно отыскать величины конечной и валовой продукции всех областей.

В формулах (11.7) и (11.8) Е обозначает единичную матрицу

n-го порядка, а (Е – А)^–1 — матрицу, обратную к матрице (Е – А).