Экспоненциальное распределение

Если заявки на обслуживание поступают в сервисную систему абсолютно произвольно, временные интервалы между соседними заявками распределяются по экспоненциальному закону.

Рис. 5.4. Экспоненциальное распределение

Функция распределения вероятностей в таком случае имеет вид

(5д.1)

где — среднее количество заявок, поступающих за определенный период времени.

Интегрируя кривую (5д. 1), т.е, в области положительных значений, можно вычислить вероятность появления входящих заявок за определенный период времени. Так, например, при условии поступлении в очередь одной заявки в единицу времени (= 1) можно образовать приведенную ниже таблицу, значения для которой либо получены из формулы, либо взяты из Приложения F. Во втором столбце этой таблицы приведены вероятности того, что следующая входящая заявка поступит более чем через t минут после предыдущей. В третьем столбце приведены вероятности появления следующей входящей заявки в течение t минут (они вычисляются вычитанием из столбца 1 значений столбца 2).

Распределение Пуассона

Чтобы найти число поступающих заявок в течение определенного периода Т, необходимо воспользоваться распределением Пуассона, приведенным на рис. 5.5. Оно получено вычислением вероятности появления n событий (заявок) в течение периода Т при условии, что появление событий носит произвольный характер.

Закон распределения вероятностей Пуассона описывается формулой

(5Д.2)

Применительно к рассматриваемой проблеме очередей формула (5д.2) отображает вероятность поступления конкретного числа n входящих заявок за определенный период времени T 1. Так, например, если средняя интенсивность входящего в систему потока равна трем заявкам в минуту

(λ = 3) и нужно определить вероятность того, что в течение минутного периода в систему поступят именно пять заявок (λ = 5, Т= 1), то получаем

Следовательно, в любой минутный интервал в сервисную систему поступает 5 заявок с вероятностью 10,1%.

Распределение Пуассона графически чаще отображается в виде плавной кривой, как, например, показано на рис. 5.5, однако фактически оно дискретно. (Кривая сглаживается в большей мере при увеличении значения п.) Рассматриваемое нами распределение может быть только дискретным,

поскольку n в рассматриваемом случае обозначает количество заявок, поступающих в сервисную систему, а следовательно, обязательно должно быть целым числом (например, не может быть 1,5 заявки).

Обратите также внимание, что экспоненциальное и пуассоновское распределения взаимосвязаны. Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона одинаковы и равны λ.

Среднее значение экспоненциального распределения равно а дисперсия — (Нужно помнить, что интервалы между двумя входящими заявками распределяются экспоненциально, а количество заявок в единицу времени — в соответствии с распределением Пуассона.)

1 n != n(n- 1)(n-2)...(2)(1).