Приклади для розв’язування

Розділ 2. Степені та логарифми.

План

1. Поняття степені з дійсним показником та кореня n-го степеню

2. Властивості степенів.(*)

3. Властивості коренів.(*)

4. Показникові функція та її графік.(**)

5. Поняття логарифму.

6. Властивості логарифмів.(*)

7. Логарифмічна функція та її графік.(**)

8. Контрольні питання.

9. Приклади для розв’язування.

 

1. Степені. Корінь n-го степеня.

 

Степенем числа a з натуральним показником n називається добуток n множників, кожний з яких дорівнює а.

Коренем n степеню з числа а називається таке число b, яке піднесене до степеню n, дає підкореневий вираз:

Степінь з дробовим показником завжди можна представити у вигляді кореню.

Корінь n степеню з числа а завжди можна представити у вигляді степеню з дробовим показником.

Обчислення степенів з цілим, раціональним (дробовим) показниками проводять за правилами, наданими в таблиці.

 

		Степінь з натуральним показником
		Степінь з цілим показником
		Степінь з дробовим показником

 

Властивості степенів.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

3. Властивості кореня n-го степеня.

1.	,
2.	- за означенням
3.	для будь-яких
		Корінь з кореня
		Корінь із добутку
		Корінь парного степеня із добутку
		Корінь із частки
		Корінь парного степеня із частки
		Основна властивість коренів

4. Показникова функція та її графік.

 

Показниковою називається функція, в якій незалежна змінна міститься в показнику степені. Елементарною показниковою функцією є функція:

В залежності від величини основи а слід розглянути наступні випадки:

 

	a >1: , загального вигляду зростаюча на всій області визначення функція; .
	0< a <1: , загального вигляду спадаюча на всій області визначення функція; .

 

 

Монотонність функції слід враховувати при розв’язуванні показникових нерівностей: знак нерівності не змінюється, якщо основа степені більше одиниці і змінюється на протилежний, якщо основа степені менше одиниці.

 

 

Поняття логарифмів.

Логарифмом додатнього числа за основою називається показник степеня, до якого треба піднести , щоб одержати .

, бо

Приклад:

Серед усіх логарифмів виділяють:

· логарифми за основою 10: (), які називають десятковими;

· логарифми за основою е: (), які називають натуральними ()

 

Властивості логарифмів.

1.		Основна логарифмічна тотожність
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.		Формула переходу від однієї основи логарифма до іншої
9.	Якщо , то
10.	Якщо , то

 

Для розв’язування вправ корисними є наслідки з властивостей логарифмів:

·

·

·

 

1. Логарифмічна функція та її графік.

 

Логарифмічною називається функція, в якій незалежна змінна міститься під знаком логарифмуі. Елементарною логарифмічною функцією є функція

В залежності від величини основи а слід розглянути наступні випадки:

 

	a >1: загального вигляду зростаюча на всій області визначення функція; .
	0< a <1: , загального вигляду спадаюча на всій області визначення функція; .

 

Монотонність функції слід враховувати при розв’язуванні логарифмічних нерівностей: знак нерівності не змінюється, якщо основа логарифму більше одиниці і змінюється на протилежний, якщо основа логарифму менше одиниці

8. Контрольні питання.

1. Дайте визначення степені з натуральним, цілим та раціональним показником.

2. Дайте визначення кореня п -го степеню.

3. Сформулюйте правила дій зі степенями з однаковими основами.

4. Сформулюйте правила переходу від степеню до кореню та навпаки

5. Дайте визначення логарифму за основою а.

6. Сформулюйте правила дій з логарифмами з однаковими основами.

7. Побудуйте графік показникової функції та вкажіть її властивості.

8. Побудуйте графік логарифмічної функції та вкажіть її властивості.

 

Приклади для розв’язування.

1. Спростити вирази:

 

 

2. Замінити степінь з дробовим показником коренем:

 

3. Подати вираз у вигляді степеня:

 

4. Знайти значення виразу:

 

 

5. Обчислити:

 

 

6. Обчислити логарифми та знайти значення виразів:

 

 

7. Розв’язати показникові рівняння:

 

8. Провести необхідні перетворення та розв’язати показникові рівняння:

 

9. Розв’язати показникові рівняння, що зводяться до квадратних:

 

10. Розв’яжіть найпростіші показникові нерівності:

 

11. Розв’яжіть показникові нерівності:

 

12. Знайти область визначення функцій:

13. Розв’язати логарифмічні рівняння:

14. Розв’язати логарифмічні рівняння, що зводяться до квадратних:

 

15. Розв’яжіть найпростіші логарифмічні нерівності:

16. Розв’яжіть логарифмічні нерівності: