Обслуживание вызовов простейшего потока

Полнодоступный пучок емкостью линий, который включен в неблокирующую коммутационную систему с потерями, обслуживает вызовы, образующие простейший поток с параметром . Длительность обслуживания вызова коммутационной системой распределена по показательному закону . Требуется определить вероятности различных состояний полнодоступного пучка в процессе обслуживания поступающих вызовов и вероятности потерь по времени , по вызовам и по нагрузке .

Параметр простейшего потока является постоянной величиной, не зависящей от состояния коммутационной системы. Поэтому в (4.13) – (4.15) при любых значениях k вместо используется величина , и эти формулы преобразуются к виду: (4.16)

(4.17)

Сокращая числитель и знаменатель на , получим

(4.18)

 

Формула (4.16) называется распределением Эрланга. Она показывает, что вероятность зависит только от числа занятых линий i, емкости пучка и величины параметра потока вызовов . По этим соображениям вероятность принято обозначать , а вероятность – через или .

Из (4.17) и (4.18) следует, что

(4.19)

При выводе (4.13) – (4.15), а следовательно, и (4.16) – (4.18) средняя длительность занятия принята равной единице; отсюда и параметр длительности занятий при показательном законе распределения . В общем случае при измерении длительности занятий в любых единицах времени распределение Эрланга имеет следующий вид:

(4.20)

Установим зависимость вероятностей от интенсивности поступающей нагрузки у:  , где – интенсивность потока вызовов; – средняя длительность занятия. Для простейшего потока, который является ординарным и стационарным, . Тогда распределение Эрланга имеет вид:

(4.21)

и, в частности, вероятность того, что в полнодоступном пучке заняты все линий (), равна

(4.22)

При распределение Эрланга (4.21) преобразуется в распределение Пуассона:

(4.23)

В (4.23) есть вероятность того, что в произвольный момент t бесконечный пучок находится в состоянии i.

Распределение Эрланга определено в предположении показательного распределения длительности занятий. Б. А. Севастьянов показал, что полученная формула справедлива при произвольном (а не только показательном) распределении длительности занятий, если средняя длительность занятий является конечной величиной.

Вероятность потерь по нагрузке. Математическое ожидание и дисперсия нагрузки. Вероятность потерь по нагрузке найдем из соотношения

, (4.24)

где – интенсивность потерянной – интенсивность поступающей нагрузок. Учитывая, что , определим интенсивность обслуженной полнодосупным пучком нагрузки , которая равна математическому ожиданию нагрузки, обслуженной в единицу времени. По теореме о количественной оценке обслуженной нагрузки

(4.25)

где i – число занятых линий в пучке; – вероятность нахождения пучка в произвольный момент времени в состоянии i. Правая часть выражения (4.25) соответствует математическому ожиданию числа одновременно занятых линий, т. е. интенсивность обслуженной нагрузки равна математическому ожиданию числа одновременно занятых линий пучка.

Подставляя в (4.25) значение , определяемое (4.21), получим

Таким образом, интенсивность обслуженной нагрузки равна произведению интенсивности поступающей нагрузки y на вероятность того, что в пучке имеется хотя бы одна свободная линия :

(4.26)

Из (4.26) также следует, что если , то , т. е. интенсивность обслуженной нагрузки в системе без потерь равна интенсивности поступающей нагрузки. Действительно, используя (4.23), получаем

Из соотношений (4.24) и (4.26) получаем значение интенсивности потерянной нагрузки:

(4.27)

Отсюда . Следовательно, при обслуживании с потерями вызовов простейшего потока линиями полнодоступного пучка, которые включены в выходы неблокирующей коммутационной системы, вероятности потерь по времени, вызовам и нагрузке равны между собой и равны вероятности того, что пучок находится в состоянии :

(4.28)

Формула потерь в полнодоступном пучке (4.28) называется первой формулой Эрланга. Функция (или, что то же, функция при средней длительности занятия, равной единице) табулирована. Таблицы первой формулы Эрланга построены так, что по числу линий и интенсивности поступающей нагрузки у (или параметру потока ) отыскиваются потери . Эти таблицы позволяют по двум любым заданным величинам из , у и находить третью.