Представление результатов измерений с учетом абсолютной погрешности

Например, при измерении некоторой величины А окончательный результат измерения представляют в виде:

,

D А округляется до одной значащей цифры, а значение А_и измеряемой величины округляется или уточняется до разряда, оставшегося в абсолютной погрешности после округления.

Пример: при измерении некоторой физической величины были получены результаты

А_и =10,332 и D А =0,17.

С учетом правил округления А_и =10,332»10,3 и D А = 0,17»0,2

Таким образом: А = 10,3 ± 0,2

То есть истинное значение величины А лежит в пределах от 10,1 до 10,5.

Задание 1. Вес тела. При помощи динамометра измерьте вес какого-либо тела (можно использовать калориметрические тела, деревянные бруски и т.д.). Определите абсолютную погрешность выполненных измерений и укажите интервал значений, в котором лежит истинное значение измеренной величины.

В качестве измеряемой величины также можно определить объем воды в мензурке, температуру воздуха в кабинете и.т.д.

Решение. Например, при взвешивании цилиндра указатель динамометра находился между штрихами, соответствующими показаниям 2,3Н и 2,4Н.

Значит, измеренный вес цилиндра Р_и = 2,3Н.

Определим систематическую погрешность: , так как погрешность отсчета равна инструментальной (см. таблицу 4), и ни одной из них мы не можем пренебречь.

Представим результат измерений в виде: Р = (2,3±0,1)Н, то есть истинный вес цилиндра лежит в пределах от 2,2 Н до 2,4 Н.

Метод интервалов.

Результаты измерений с учетом абсолютной погрешности можно представить в графическом виде.

Так например, результат измерения некоторой величины А, представленный в виде ,можно отобразить на числовой прямой, как некоторый интервал значений:

 

Для нашего примера:

Результаты измерений, представленные в таком виде, более наглядны и могут позволить ответить на ряд вопросов.

Так например, при измерении какой-нибудь постоянной величины мы можем говорить о качестве измерения, если истинное значение величины попадает в полученный интервал значений.

Пример. При измерении плотности свинца был получен результат: ρ = (11,2 0,2) , известное нам табличное значение составляет 11,3 .

 

 

Таким образом, полученное значение плотности совпадает с табличным в пределах допустимой погрешности.

При известном интервале значений мы с определенной долей вероятности, можем говорить о принадлежности исследуемого образца к определенным веществам из какого-то спектра.

При сравнении нескольких величин метод интервалов позволяет определить их возможное равенство или неравенство.

Пример. При измерениях двух однородных величин были получены результаты:

и

Можно ли значения величин А и В считать равными?

Рассмотрим возможные случаи:

1)

Для такого результата можно говорить о равенстве значений величин с учетом абсолютной погрешности, так как они имеют общие значения в области перекрытия интервалов.

2)

Для такого результата говорить о равенстве значений величин с учетом абсолютной погрешности нельзя, так как их интервалы не перекрываются, то они не имеют общих значений.

Задание 2. Маятник.

1) Предложите учащимся измерить время десяти полных колебаний маятника. Полученный результат необходимо записать с учетом абсолютной погрешности и представить в виде интервала.

Решение. Вычислим абсолютную погрешность измерений секундомера, используя данные

таблицы 4: D t =1c

Для эксперимента использовался механический секундомер, измерения времени показали: t _и=12,4с

С учетом правил округления результат измерения нужно записать как: t = (12 ± 1)c

Представим полученный результат в виде интервала:

2) Предложите учащимся повторить эксперимент. Полученный результат также необходимо записать с учетом абсолютной погрешности, представить в виде интервала и, сравнив с предыдущим, сделать выводы.

Решение. Повторные измерения показали t _и=11,4с

Тогда результат измерения нужно записать как: t = (11±1)c

Представим полученный результат в виде интервала:

Сравним полученные по двум опытам результаты:

Таким образом, можно сделать вывод, что эксперименты были проведены в близких условиях и измеренные значения времени можно считать равными.

Учителю: если учащиеся получат неравные значения результатов измерений – ничего страшного. Обсудите возможные причины отличия (длина маятника, размах колебаний, определение начала отсчета с учетом мышечной реакции и др.).

 

Задание 3. Проволока. Предложите учащимся проверить однородность проволоки. Для этого, при помощи штангенциркуля, необходимо произвести измерения ее диаметра в нескольких местах. В качестве исследуемого образца можно использовать любой провод.

Решение.

Пусть измерения показали: l _и1=(0,8±0,1)мм; l _и2= (0,8±0,1)мм; l _и3= (0,7±0,1)мм.

Представим полученный результат в виде интервалов:

 

Таким образом, по результатам измерений, можно считать, что исследуемый образец достаточно однороден.

Учителю: в случае отсутствия необходимых инструментов и материалов для выполнения данного задания, можно провести альтернативное: предложите учащимся сравнить диаметры горошин, куриных яиц, теннисных мячиков, карандашей или других круглых тел. Методика выполнения данного задания достаточно проста.

Задание 4. Круглое тело. Предложите учащимся измерить диаметр шарика. Проделать это можно при помощи брусков и линейки.

Процедура хорошо видна на рисунке.

Полученные результаты необходимо представить в виде:

Диаметр шарика: d = 2,7 см ±0,1см

 

Занятие 3. Учет случайных погрешностей

 

При правильном пользовании измерительным прибором абсолютная погрешность прямого измерения (обозначается значком D) складывается из максимально возможных значений систематических и случайных абсолютных погрешностей: D= D_сист+ D_случ. При этом систематическая складывается из инструментальной погрешности прибора D_и и погрешности отсчета D_о:

D_сист= D_и + D_о

Таким образом: D = D_и + D_о + D_случ.

Случайная погрешность есть всегда, но не во всех измерениях ее надо учитывать. Если при проведении 3-5 повторных измерений, максимальное отклонение результатов измерений от среднего не превосходит границы систематической погрешности, то случайными погрешностями измерений в данных опытах можно пренебречь: D»D_сист.

Если же случайная погрешность превосходит в 3-4 раза систематическую, то: D» D_случ. В случае их соизмеримости, учитываются обе. То есть D = D_и + D_о + D_случ.