Способы характеризации неопределенности. Отклонение элементов множества

После введения отображений (1.35), (1.36) возникает вопрос о мере эквивалентности состояний а и а ^*. С учетом b*= f ^* (a) и a*= f ^*-1 (b*) получаем:

а ^* =f ^-1* [ f^*(a) ] =a, (1.37)

т. е.

а Û а ^*. (1.38)

Вместе с тем данная эквивалентность существует в пределах способности различения, выраженной соотношением (1.36). Поскольку выбор решающего правила влияет на значение b ^* (а тем самым, по соотношению (1.30), и на состояние а ^*), то, как показано на рис. 1.6, может существовать много состояний a ^*, эквивалентных первичному состоянию а, и разность

а^* - а = const (1.39)

может оказаться одинакова для любого из возможных решающих правил. Поэтому выбранная по решению D (1.27) точка b ^*не характеризует неоднозначность образа состояния а, полученного в результате измерения.

Использование множества {b^*, р_а(b^*)} затруднительно и не всегда необходимо. Рассмотрим сначала пример p_a = const; при этом из условия ∫ p_a (b)d b = 1 вытекает, что

р_а(b^*)=1/(b _в - b _н ), (1.40)

если b _ви b _н означают верхний и нижний пределы множества В_а.

 

Рис. 1.6. Образы состояния а для правил решения D₁, D₂, D₃

Неопределенность образа можно характеризовать удалением (отклонением) r(b^*, b) элементов множества В_а от точки b^*, если пространство В, в котором представлены случаи bÎВ_а, наделено метрикой.

С учетом предположения BÌ R пространство событий b ô а нормируемо, и в соответствии с используемыми нормами этого пространства отклонения r таковы:

|| х || = ; (1.41)

|| х || = , ; (1.42)

|| х || = , (1.43)

и т.д.

Важным свойством отклонения является то, что область r определяет область в множестве В. Множество В_а с помощью точки b^* упорядоченно разделено на два непересекающихся подмножества В _н и В _в, таких, что

В = В _н È В _в. (1.44)

Отклонения по типу (1.41) - (1.43) могут быть обозначены отдельно для множеств В _н, В _в как r_н и r_в соответственно.

Меры множеств

Иным способом выражения неоднозначности отображения состояния а взначение bÎВ_а для рассматриваемого случая р_а(b)=1/(b _в - b _н ) является применение меры множества, например меры Лебега, меры Радона и т.д. Каждому из множеств В, В _н, В _в(1.44) по мере Лебега соответствуют значения

m(В _н) = m_н = b^* - b _н>0, (1.45а)

m(В _в) = m_в= b _в - b ^*>0, (1.45б)

m(B) = m(B _нÈ b^* È B _в) = m_н+m_в = 2m, (1.45в)

причем

m (В _а) = b _в - b _н. (1.45г)

Если вероятность p _a(b) ¹ const, что бывает чаще всего, то прямое нахождение меры ввиду неопределенности a = >{ b, p_a (b)} весьма трудно. Такая мера должна состоять из малого числа параметров, быть легко уяснимой и, главное, не требовать для ее определения знания распределения вероятности р_а(b). Дело в том, что некоторые распределения вероятностей, такие как экспоненциальное, геометрическое, распределения Пуассона и Стьюдента, описываются одним параметром, а нормальное, равномерное, биномиальное распределения - с помощью двух параметров, т.е. в общем случае

р_а(b) = р(b, q₁, q₂, q₃,...), (1.46)

где q₁, q₂... - параметры функции распределения вероятности.

Указание вида распределения, решающего правила D (1.27), выбора значения b^*, а также одного или соответственно двух параметров полностью характеризуют b^* и неоднозначность отображения (1.26). Важно, чтобы степень неоднозначности отображения можно было установить, не пользуясь распределением вероятности р_а(b), а также чтобы ее смысл не зависел от типа распределения вероятности. Следует отметить, что такой меры, которая описывала бы ту или иную неоднородность более однородно, не существует, если потеря информации о неоднородности не компенсируется дополнительной информацией. Поэтому для характеристики неоднозначности отображения применяется ряд частичных мер, неполных в сравнении с р_а(b), но каждая из них выражает эту неоднозначность в каком-либо более узком смысле.