Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения

Математическим ожиданием дискретной случайной величины с законом распределения

называется число M(XY) = x₁p₁+ x₂p₂ + …

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий).

Доказательство: Возможные значения X обозначим x₁, x_2, …, возможные значения Y - y₁, y_2, … а p_ij=P(X=x_i, Y=y_j). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. M(XY)= Ввиду независимости величин X и Y имеем: P(X= x_i, Y=y_j)= P(X=x_i) P(Y=y_j). Обозначив P(X=x_i)=r_i, P(Y=y_j)=s_j, перепишем данное равенство в виде p_ij=r_is_j

Таким образом, M(XY) = = . Преобразуя полученное равенство, выводим: M(XY)=()() = M(X)M(Y), что и требовалось доказать.

8) Докажите, что если X и Y – дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Математическим ожиданием дискретной случайной величины с законом распределения

называется число M(XY) = x₁p₁+ x₂p₂ + …

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y)= M(X)+M(Y).

Доказательство: Возможные значения X обозначим x₁, x_2, …, возможные значения Y - y₁, y_2, … а p_ij=P(X=x_i, Y=y_j). Закон распределения величины X+Y будет выражаться соответствующей таблицей. M(X+Y)= . Эту формулу можно переписать следующим образом: M(X+Y)= .Первую сумму правой части можно представить в виде . Выражение есть вероятность того, что наступит какое-либо из событий (X=x_i, Y=y₁), (X=x_i, Y=y₂), … Следовательно, это выражение равно P(X=x_i). Отсюда . Аналогично, . В итоге имеем: M(X+Y)= M(X)+M(Y), что и требовалось доказать.

9) Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что М(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события Ā равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х – число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х₁+Х₂+…+Х_n. Теперь докажем, что М(Х_i)=р, D(Х_i)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

Очевидно, что М(Х)=р, случайная величина Х² имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=М(Х²)-М²(Х)=р-р²=р(1-р)=рq. Таким образом, М(Х_i)=р, D(Х_i)=pq. По теореме сложения математических ожиданий М(Х)=М(Х₁)+..+М(Х_n)=nр. Поскольку случайные величины Х_i независимы, то дисперсии тоже складываются: D(Х)=D(Х₁)+…+D(Х_n)=npq=np(1-р).

10) Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром λ. Докажите, что M (X) = λ.

Закон Пуассона задается таблицей:

X					…
P	e-λ	λ e-λ			…

Отсюда имеем:

=

Таким образом, параметр λ, характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X.

11) Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что M (X) = .

Геометрический закон распределения связан с последовательностью испытаний Бернулли до 1-го успешного события А. Вероятность появления события А в одном испытании равна р, противоположного события q = 1-p. Закон распределения случайной величины Х – числа испытаний имеет вид:

Ряд, записанный в скобках, получается почленным дифференцированием геометрической прогрессии

.

Следовательно, .

12) Докажите, что коэффициент корреляции случайных величин Х и У удовлетворяет условию .

Определение: Коэффициентом корреляции двух слу­чайных величин называется отношение их ковариации к произведе­нию средних квадратических отклонений этих величин: . .

Доказательство: Рассмотрим случайную величину Z = . Вычислим ее дисперсию . Поскольку левая часть неотрицательна, то правая неотрицательна. Следовательно, , |ρ|≤1.

13) Как вычисляется дисперсия в случае непрерывного распределения с плотностью f (x)? Докажите, что для случайной величины X с плотностью дисперсия D (X) не существует, а математическое ожидание M (X) существует.

Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x) и математическим ожиданием m = M(X) определяется таким же равенством, как и для дискретной величины

.

В случае когда абсолютно непрерывная случайная величина X сосредоточена на промежутке [a, b],

∞ - интеграл расходится, следовательно, дисперсия не существует.

14) Докажите, что для нормальной случайной величины Х с функцией плотности распределения математическое ожидание М(Х) = μ.

Формула описывает плотность нормального распределения вероятностей непрерывной с.в..

Докажем, что μ есть математическое ожидание.

Поопределению математического ожидания непрерывной с.в.,

Введем новую переменную . Отсюда . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю ввиду нечетности подинтегральной функции. Второе из слагаемых равно μ (интеграл Пуассона ).

Итак, M(X)=μ, т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру μ.

15) Докажите, что для нормальной случайной величины Х с функцией плотности распределения диспресия D(X) = σ².

Формула описывает плотность нормального распределения вероятностей непрерывной с.в..

Докажем, что - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Введем новую переменную z=(х—μ)/ . Отсюда . Приняв во внимание, что новые пределы инте­грирования равны старым, получим Интегрируя по частям, положив u=z, найдем Следовательно, .Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

16) Докажите, что для непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром , математическое ожидание .

Говорят, что случайная величина X, принимающая только неотрицательные значения, распределена по показательному закону, если для некоторого положительного параметра λ>0 функция плотности имеет вид:

Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой

M(X)=

Найдем интеграл методом интегрирования по частям, полагая u = x, dv = e ^{–λ x} d (λ x), так что du = dx, v = – e ^{–λ x} . Получим

Таким образом, M(X)= .

17) Cформулируйте определение начальных моментов случайной величины. Докажите, что если Х и У – независимые случайные величины, то

Начальным моментом порядка k (k принадлежит N) случайной величины Х называется мат.ожиданием k-й степени Х.

Центральным моментом порядка k СВ Х называется мат.ожидание k-й степени отклонения:

Теорема: если Х и У независимые СВ, то

Док-во:

-потеореме умножения математического ожидания для независимых величин.

18) Пусть - начальные, а - центральные моменты некоторой случайной величины.

Докажите, что:

Докажем связь начальных и центральных моментов:

19) Найдите эксцесс равномерного распределения на отрезке [а,b].

A=μ₃/σ³ – асимметрия,

Ex= μ₄/σ⁴-3 – эксцесс.

.

20) Докажите независимость компонент случайного вектора (X, Y), равномерно распределенного в прямоугольнике a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.

По определению:

Компоненты Х и У абсолютно непрерывного случайного вектора называются независимыми, если условные плотности равны безусловным.

.

Следовательно, компоненты Х и У – независимые.