Прибуток від експлуатації у залежності від стратегії

Припустимо, що фірма вирішила побудувати базу відпочинку і потрібно прийняти рішення(стратегію): скільки місць вона повинна на мати (r_j =20, 40, 60). Реалізація у вигляді кількості замовлених (зайнятих) місць теж задається, наприклад S_i =0, 10, 15, 40, 60. Розраховують кошторис на будівництво бази відпочинку та розраховують очікуваний прибуток у залежності від побудованих наявних місць на базі відпочинку і кількості дійсно замовлених (зайнятих) кімнат - результату експлуатації. Якщо кількість замовлень більша за їх наявність, то корисність не збільшується, бо замовлення відхиляються. Розглянемо на цьому прикладі використання критеріїв. Корисність вибору i -ї стратегії за умови реалізації стану S_j позначатимо через k_ij, тобто будемо мати матрицю

Таблиця 5.1

Розв’язати задачу про вибір оптимального проекту бази відпочинку (див. задачу 5.1) за умови, що відома інформація про можливі варіанти замовлених (зайнятих) місць у вигляді розподілу ймовірностей .

Використати критерій Байеса-Лапласа, метод Ходжа-Лемана (для ), метод Гермейєра, метод «корисність-дисперсія» (для ) та метод найбільш вірогідного результату.

Метод корисності (критерій Байеса-Лапласа) застосовується, коли найбільш значущою вважається та альтернатива, яка забезпечує найбільше значення оцінки математичного сподівання корисності.

Для обчислення цільової функції кожна альтернатива r_і, оцінюється математичним сподіванням , :

1. Для кожного рядка (стратегії/рішення) обчислюють математичне сподівання корисності:

2. З обчислених математичних сподівань корисностей обирають максимальне значення

.

Тобто в якості оптимального рішення r* вибирається та альтернатива, яка забезпечує найбільше значення оцінки математичного сподівання корисності.

Для нашого прикладу , серед них обираємо максимальне значення оцінки математичного сподівання корисності 243,27, яке і визначає кількість кімнат на майбутній базі відпочинку 40.

Тут доцільна така послідовність дій вибору найкращої альтернативи r*:

1. Для кожного рядка (стратегії/рішення) обирають мінімальне значення корисності з урахуванням розподілу ймовірностей:

2. З обчислених значень обирають максимальне значення:

.

!	Цікаво відзначити, що в окремому випадку, коли витоки є рівно ймовірними, тобто р1=р2=…=рn=1/n, даний критерій перетворюється в критерій Лапласа.
	Метод Гермейєра. Цей метод являється аналогом критерію максиміна в умовах ризику та дозволяє ОПР зробити вибір найбільш гарантованого результату з урахуванням додаткової інформації про розподіл ймовірностей результатів.

Для задачі 6.3 мінімальне значення корисності з урахуванням розподілу ймовірностей , серед них обираємо максимальне значення корисності , яке і визначає кількість кімнат на майбутній базі відпочинку 20. Але очевидно, що за даним критерієм взагалі недоцільно будувати базу відпочинку, оскільки корисність має від’ємне значення.

Метод «корисність-дисперсія». Застосування цього методу передбачає, що режим вибору рідко повторюється.

Послідовність дій вибору найкращої альтернативи у даному випадку така:

1. Кожна альтернатива r_і, оцінюється різницею між математичним сподіванням і дисперсією випадкової величини по всім результатам , :

де ≥ 1 - коефіцієнт несхильності до ризику, який характеризує відношення ОПР до великих відхилень від очікуваних результатів.

2. Обирається альтернатива r*, яка забезпечує найбільше з обчислених значень:

.

Змістовною інтерпретацією даного критерію являється те, що зі зменшенням дисперсії збільшується вірогідність наближення значень до математичного сподівання, тобто до об’єктивної корисності альтернативи r_і.

Для нашого прикладу, за умови , оцінка різниці математичного сподівання і зваженого значення дисперсії дорівнюватиме , серед яких і обираємо максимальне значення оцінки , яке і визначає кількість кімнат на майбутній базі відпочинку 20.

Метод найбільш вірогідного результату доцільно використовувати, якщо маємо результат зі значно більшою ймовірністю, ніж інші (). В цьому випадку стохастична ситуація вибору перетворюється в детерміновану шляхом заміни випадкової величини оцінки результату єдиним значенням, яке має найбільшу ймовірність реалізації.

Для визначення оптимальної альтернативи необхідно виконати такі дії:

1. Для кожного рядка (стратегії/рішення) обирають таке значення корисності, що відповідає найбільш ймовірному стану зовнішнього середовища:

2. З обчислених значень обирають максимальне значення:

.

У нашому прикладі найбільш вірогідним станом середовища є варіант 40 зайнятих кімнат.

Таким чином, , серед яких і обираємо максимальне значення 405 (кількість кімнат на майбутній базі відпочинку - 40).

У цьому випадку виконуються наступні дії:

1. Кожна альтернатива r_і, оцінюється значенням:

де - параметр ступеня довіри ОПР до розподілу ймовірностей.

2. Обирається альтернатива r*, яка забезпечує найбільше з обчислених значень:

.

Параметр дозволяє ОПР знайти розумний компроміс між вибором найкращого гарантованого результату при =0, і вибором найбільш очікуваного результату при =1.

Для визначення найкращого варіанта в нашому прикладі задамо значення =0,6. В цьому разі будемо мати наступну оцінку альтернатив , серед них оберемо максимальне значення оцінки , яке і визначить кількість кімнат на базі відпочинку 40.

На завершення розгляду системи критеріїв вибору стохастичної моделі системного аналізу, відзначимо ще одну можливість її використання. Якщо ОПР для оцінки альтернатив утруднюється в виборі одного з критеріїв, вона може виконати обчислення за всіма критеріями. А потім використати для вибору альтернативи r* метод голосування, суть якого полягає в виборі тієї альтернативи, за яку «проголосувала» найбільша кількість критеріїв.

Таким чином, маємо такі варіанти вибору варіанта бази відпочинку:

1) метод корисності (критерій Байеса-Лапласа) рекомендує 40 кімнат;

2) метод Гермейєра - 20 кімнат;

3) метод «корисність-дисперсія» - 20 кімнат;

4) метод найбільш вірогідного результату - 40 кімнат;

5) метод Ходжа-Лемана - 40 кімнат.

Отже, керуючись вищезазначеними рекомендаціями, найкращою альтернативою будемо вважати базу відпочинку на 40 кімнат.