Основные теоремы о сходящихся рядах

Ряд. Виды рядов

Рядом называют сумму членов бесконечной последовательности

.

Слагаемые в этой сумме называют членами ряда, член с произвольным номером – общим членом ряда.

Если члены ряда числа, ряд называют числовым. Если членами ряда являются функции, его называют функциональным.

Среди функциональных рядов наиболее широко используют степенной ряд:

и тригонометрический ряд:

 

С первоначальными понятиями теории рядов связаны два следующих типа задач:

Пример 1. По данной формуле общего члена записать его несколько первых членов*.

Решение. Для вычисления любого члена ряда нужно в формулу общего члена вместо n подставить номер этого члена. Поэтому ; и так далее.

Ответ:

 

Пример 2. Запишите формулу общего члена ряда по нескольким его первым членам:

Решение. Если ряд знакочередующийся, формула общего члена должна содержать множитель или для ряда, у которого первый член положителен, и множитель для ряда с первым отрицательным членом.

Далее нужно попытаться установить закономерность в записи членов ряда в зависимости от их номера. В данном примере члены ряда – дроби. Проследим за изменением числителя. У первого члена он равен 2, у второго – 4, у третьего – 8, у четвертого – 16 и у пятого –32. Можно заметить, что числители – это степени числа 2 с показателем, равным номеру члена. То есть член с произвольным номером n будет содержать в числителе .

Теперь проследим за значениями знаменателей. У первой дроби он равен 1, у второй – 4, у третей – 9, у четвертой – 16 и у пятой – 25. То есть, знаменатель равен квадрату номера члена. Для члена с произвольным номером n он равен .

Из проведенных рассуждений следует

Ответ: .

Сходимость ряда

Рассмотрим ряд . Построим его частичные суммы:

Ряд называют сходящимся, если бесконечная последовательность его частичных сумм имеет конечный предел: . Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если не существует или бесконечен, ряд называют расходящимся.

Когда рассматривают функциональный ряд, он может обратиться в сходящийся или расходящийся числовой ряд в зависимости от значения входящей в него переменной. Множество значений переменной, при которых функциональный ряд превращается в сходящийся числовой ряд, называют интервалом сходимости функционального ряда.

Теорема 1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, его члены стремятся к нулю.

Доказательство. Пусть ряд сходится. По определению это означает, что .

Выпишем две частичные суммы ряда:

Вычитая из второй строки первую, получим . Рассмотрим

,

что и требовалось доказать.

Доказанный признак является необходимым. То есть он выполняется для сходящегося ряда. Поэтому пользоваться им для исследования ряда на сходимость нельзя. Но из него следует: если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Пример. Докажите расходимость ряда

Решение. Рассмотрим

.

Так как , то ряд расходится.

Основные теоремы о сходящихся рядах

Теорема 1:

Если ряд - сходится, то сходится ряд:

Получаемый из данного ряда отбрасыванием n первых членов; наоборот, из сходимости n-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда

 

Теорема 2:

Если сходится ряд (1)

и суммой его является число S, то сходится и ряд (2)

причем сумма ряда (2) равна

 

Теорема 3:

Если сходится ряд

То сходится и ряд

 

Признак сходимости.

I признак

 

Пусть даны два ряда с положительными членами:

 

(1)

(2)

Тогда:

1) если сходится ряд (2), то сходится ряд (1)

2) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2)

 

II признак

Если конечный, отличный от нуля предел

, то оба ряда и

одновременно сходятся и одновременно расходятся

 

Признак Коши

Если для ряда

,

существует , то этот ряд сходится при и расходится при

 

Признак Даламбера

 

Теорема. Пусть для ряда существует . В таком случае:

1) если предел l < 1, то ряд сходится;

2) если l > 1, то ряд расходится;

3) если l = 1, то признак определенного ответа не дает, так как в этом случае одни рады сходятся, а другие расходятся.

Признаком Даламбера можно пользоваться для исследования ряда на сходимость и нахождения интервала сходимости ряда. Для этого удобно пользоваться следующим алгоритмом:

1. Записать общий член ряда .

2. Записать последующий член , для чего в формулу общего члена везде подставить n + 1 вместо n.

3. Вычислить дробь .

4. Вычислить предел модуля полученной дроби при .

5. Если ряд числовой, по значению предела сделать заключение о сходимости этого ряда. В противном случае перейти к пункту 6.

6. Записать неравенство: значение предела < 1.

7. Решить полученное неравенство. Его решение и есть интервал сходимости с точностью до ответа на вопрос, входят ли в него граничные точки (этот вопрос требует дополнительных исследований).

Пример 1. Исследуйте по признаку Даламбера сходимость ряда

Решение. Общий член ряда задан .

Запишем последующий член .

Вычислим дробь .

Вычислим предел модуля этой дроби

.

Так как вычисленный предел равен , то ряд сходится.

Пример 2. Найдите промежуток сходимости ряда

По виду членов ряда запишем его общий член .

Тогда последующий член имеет вид .

Вычислим дробь .

Вычислим предел модуля полученной дроби

.

Ряд сходится для тех значений аргумента, для которых .

Решим это неравенство, для чего заменим его двойным неравенством без модуля

.

Умножим все части неравенства на 5: .

Прибавим ко всем частям 1: .

Разделим все части неравенства на 2: .

Ответ: интервал сходимости ряда (– 2; 3).

 

 

Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняется следующие 2 условия:

1)

2)

Сумма знакочередующегося ряда меньше первого члена ряда, т.е.

Определение. Знакопеременные ряды – это ряды с произвольным чередованием знаков его членов.

 

Теорема. Знакопеременный ряд

 

- сходится, если ряд

 

Определение. Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд - сходится и условно сходится, если ряд - расходится.

 

 

* В математике записью n! принято обозначать произведение первых n натуральных чисел. Например, 3!=1×2×3=6; 6!=1×2×3×4×5×6=720.