Основные расчетные формулы. Отчёт по лабораторной работе № 12

Отчёт по лабораторной работе № 12

 

Кафедра общей и технической физики

 

 

Определение коэффициента вязкости,

длины свободного пробега и эффективного диаметра молекулы газа

 

 

Выполнил студент группы ИЗ-04-1: __________ /Москаленко М.А./

(подпись)

Проверил: __________ /Сырков А.Г./

(подпись)

 

 

Санкт-Петербург

2005г.

Цель работы – определить коэффициент вязкости, длину свободного пробега и эффективный диаметр молекулы газа при его течении через узкую трубку.

 

Общие сведения.

Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа хаотическое молекулярное движение является физической причиной наблюдаемых в газах явлений переноса: энергии - при выравнивании температур (теплопроводность), массы - при выравнивании концентраций (диффузия), импульса - при выравнивании скоростей направленного движения молекул (вязкость). Хотя скорости движения молекул велики, процессы переноса совершаются относительно медленно, так как столкновения между молекулами препятствуют их свободному движению и заставляют двигаться по ломаным траекториям.

Силы взаимодействия между молекулами становятся заметными лишь при малых расстояниях между ними. Поэтому считают, что на пути свободного пробега молекулы движутся прямолинейно и равномерно, а отклонения происходят только при их достаточном сближении.

Среднее расстояние, которое проходит молекула за время между двумя последовательными столкновениями, называется средней длиной свободного пробега. Для идеальных газов средняя длина свободного пробега

,

где n –концентрация, k - постоянная Больцмана, k = 1,38×10^-23 Дж/К; s - эффективный диаметр молекулы, т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул.

Эффективный диаметр зависит от скорости молекул, несколько уменьшаясь с увеличением скорости, т.е. с повышением температуры.

Основные количественные данные для определения длины свободного пробега молекул и их эффективных диаметров были получены из исследования явлений переноса, так как скорости выравнивания концентраций, температуры и импульса молекул определяются их столкновениями при тепловом движении.

 

Вязкость (внутреннее трение) есть свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одного слоя вещества относительно другого.

Пусть какой-либо слой жидкости или газа течет со скоростью u (рис.1), а слой, отстоящий от него на расстоянии D у, со скоростью u + Du. Скорость при переходе от слоя к слою изменяется на величину Du. Отношение Du/D у характеризует быстроту изменения скорости и называется градиентом скорости. При движении плоских слоев сила трения между ними согласно закону Ньютона

,

где h - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости или динамической вязкостью; S - площадь соприкосновения слоев.

Таким образом, коэффициент вязкости численно равен тангенциальной силе, приходящейся на единицу площади соприкосновения слоев, необходимой для поддержания разности скоростей, равной единице, между двумя параллельными слоями вещества, расстояние между которыми равно единице. В СИ единица вязкости - паскаль·секунда.

В газах расстояние между молекулами существенно больше радиуса действия молекулярных сил, поэтому вязкость газов - следствие хаотического движения молекул. Коэффициент вязкости идеальных газов

,

где m - масса молекулы; - средняя скорость теплового движения молекул; r - плотность газа.

В жидкостях, где расстояние между молекулами много меньше, чем в газах, вязкость обусловлена межмолекулярным взаимодействием.

Коэффициент вязкости можно найти по закону Пуазейля, определяющему объем газа V, протекающего через капилляр при ламинарном течении:

, (1)

где r - радиус капилляра; t - время, в течение которого вытекает газ данного объема; - разность давлений на концах капилляра, обуславливающая течение газа через него; l - длина капилляра; h - коэффициент вязкости.

Измерив все величины, входящие в формулу (1), получим коэффициент вязкости

. (2)

По известному h можно вычислить среднюю длину свободного пробега:

.

Плотность газа

,

где р - давление газа; m - молярная масса газа, для воздуха m = 2,9×10^-2 кг/моль; R - универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль×К); T - температура газа,К.

Средняя арифметическая скорость молекулы газа

Таким образом, средняя длина свободного пробега

. (3)

Эффективный диаметр молекулы

, (4)

где k - постоянная Больцмана, k = 1,38×10^-23 Дж/К.

Схема установки. D p=rg (h ₁- h ₂) (5)

где r – плотность воды, g – ускорение свободного падения, h₁ и h₂-высота уровней в коленах манометра.

Рис.2

Объем воды вытекшей из сосуда вычисляется по формуле

V = pD ²(H ₁- H ₂)/4 (6)

где D - диаметр сосуда, H ₁ и H ₂-высота уровня воды в сосуде вначале и в конце.

 

 

Основные расчетные формулы.

1. ∆p = ρg (h₁ – h₂)
2. V = πD² (H₁ – H₂)/4
3. η = πV⁴∆pt/(8LV) – коэффициент вязкости
4. λ = 1,5η/p√πRT/2μ – длина свободного пробега молекулы газа
5. σ = √KT/√2πpλ – эффективный диаметр молекулы

6. K = 1,38 · 10^-23 Дж/K; R = 8,31 Дж/моль·K

 

Формулы погрешности.

1. Δη = η_ср.·Ε_η
2. Δλ = λ_ср.·Ε_λ
3. Δσ = σ_ср.·Ε_σ

 

Вычисления:

1. Δp = 1000 кг/м³ · 9,8 м/с² · (105-95) · 10^-3 м = 98 Па

V = 3,14 · 20,25·10^-4 · (4,8) · 10^-2м / 4 = 76,3 · 10^-6 м³

η = 3,14 · 27,98·10^-16м⁴ · 98 Па · 41,15с / 8 · 7·10^-2м · 76,3·10^-6м³ = 82,92·10^-8 Па·с

λ = 1,5 · 82,92·10^-8 / 102,3·10³ Па · √3,14 · 8,31 · 297,15 К / 2 · 2,9·10^-2 кг/моль = 0,44·10^-8м

σ = √1,38·10^-23Дж/моль·К · 297,15 К / √2 · 3,14 ·102,3·10³Па · 0,44·10^-8м = 1,43·10^-9м

 

1. Δp = 1000 кг/м³ · 9,8 м/с² · (84-76) · 10^-3 м = 78,4 Па

V = 3,14 · 20,25·10^-4 · (20,3-17,1) · 10^-2м / 4 = 50,87 · 10^-6 м³

η = 3,14 · 27,98·10^-16м⁴ · 78,4 Па · 39,19с / 8 · 7·10^-2м · 50,87·10^-6м³ = 94,75·10^-8 Па·с

λ = 1,5 · 94,75·10^-8 / 102,3·10³ Па · √3,14 · 8,31 · 297,15 К / 2 · 2,9·10^-2 кг/моль = 0,5·10^-8м

σ = √1,38·10^-23Дж/моль·К · 297,15 К / √2 · 3,14 ·102,3·10³Па · 0,5·10^-8м = 1,34·10^-9м

 

1. Δp = 1000 кг/м³ · 9,8 м/с² · (73-64) · 10^-3 м = 58,8 Па

V = 3,14 · 20,25·10^-4 · (17,1-14,3) · 10^-2м / 4 = 44,5 · 10^-6 м³

η = 3,14 · 27,98·10^-16м⁴ · 58,8 Па · 26,04с / 8 · 7·10^-2м · 44,5·10^-6м³ = 53,98·10^-8 Па·с

λ = 1,5 · 53,98·10^-8 / 102,3·10³ Па · √3,14 · 8,31 · 297,15 К / 2 · 2,9·10^-2 кг/моль = 0,29·10^-8м

σ = √1,38·10^-23Дж/моль·К · 297,15 К / √2 · 3,14 ·102,3·10³Па · 0,29·10^-8м = 1,76·10^-9м

 

1. Δp = 1000 кг/м³ · 9,8 м/с² · (99-81) · 10^-3 м = 176,4 Па

V = 3,14 · 20,25·10^-4 · (26,3-21,5) · 10^-2м / 4 = 76,3 · 10^-6 м³

η = 3,14 · 27,98·10^-16м⁴ · 176,4 Па · 50,34с / 8 · 7·10^-2м · 76,3·10^-6м³ = 182,58·10^-8 Па·с

λ = 1,5 ·182,58·10^-8 / 102,3·10³ Па · √3,14 · 8,31 · 297,15 К / 2 · 0,29·10^-1 кг/моль = 0,97·10^-8м

σ = √1,38·10^-23Дж/моль·К · 297,15 К / √2 · 3,14 ·102,3·10³Па · 0,97·10^-8м = 0,96·10^-9м

 

1. Δp = 1000 кг/м³ · 9,8 м/с² · (86-74) · 10^-3 м = 117,6 Па

V = 3,14 · 20,25·10^-4 · (21,9-17,9) · 10^-2м/4 = 63,58 · 10^-6 м³

η = 3,14 · 27,98·10^-16м⁴ · 117,6 Па · 45,28с / 8 · 7·10^-2м · 63,58·10^-6м³ = 131,39·10^-8 Па·с

λ = 1,5 · 131,39·10^-8 / 102,3·10³ Па · √3,14 · 8,31 · 297,15 К / 2 · 0,29·10^-1 кг/моль = 0,7·10^-8м

σ = √1,38·10^-23Дж/моль·К · 297,15 К / √2 · 3,14 ·102,3·10³Па · 0,7·10^-8м = 1,13·10^-9м

 

η_ср. = η₁ + η₂ + η₃ + η ₄+ η₅ / 5 = 109,12 ·10-8 Па·с

λ_ср. = λ₁ + λ₂ + λ₃ + λ₄ + λ₅ / 5 = 0,58·10^-8м

σ_ср. = σ₁ + σ₂ + σ₃ + σ₄ + σ₅ / 5 = 1,32·10^-9м

 

Погрешности измерений.

1. Относительная погрешность:

Ε_Δp =Δh + Δh₂ / h₁ – h₂ = 0,5+0,5 / 105-95 = 10%

Ε_V = ΔH₁ + ΔH₂ / H₁ – H₂ = 2%

Ε_η = Ε_Δp + Ε_t = 0,1 + 0,01/41,15 = 10%

Ε_λ = Δp_атм. / p_атм. + Ε_η + Ε_T = 50/102300 + 0,1 + 0,5/24 = 12%

Ε_σ = Ε_λ + Ε_T + Ε_Δp = 0,5/24 + 0,12 + 50/102300 = 14%

 

Абсолютная погрешность:

 

Δη = η_ср. · Ε_η = 109,12·10^-8 · 0,1=10,91·10^-8

Δλ = λ_ср. · Ε_λ = 0,58·10^-8 · 0,12 = 0,069·10^-8

Δσ = σ_ср. · Ε_σ = 1,32·10^-9 · 0,14 = 0,184·10^-9

2. Относительная погрешность:

Ε_Δp =Δh + Δh₂ / h₁ – h₂ = 0,5+0,5 / 84 - 76 = 12,5%

Ε_η = Ε_Δp + Ε_t = 0,125 + 0,01/39,19 = 12,5%

Ε_λ = Δp_атм./ p_атм. + Ε_η + Ε_T = 12,7%

Ε_σ = Ε_λ + Ε_T + Ε_Δp = 12,9%

 

Абсолютная погрешность:

 

Δη = η_ср. · Ε_η = 109,12·10^-8 · 0,125 = 13,64·10^-8

Δλ = λ_ср. · Ε_λ = 0,58·10^-8 · 0,127 = 0,07·10^-8

Δσ = σ_ср. · Ε_σ = 1,32·10^-9 · 0,129 = 0,17·10^-9

3. Относительная погрешность:

Ε_Δp =Δh + Δh₂ / h₁ – h₂ = 0,5+0,5 / 73 - 67 = 16%

Ε_η = Ε_Δp + Ε_t = 0,16 + 0,01/26,04 = 16%

Ε_λ = Δp_атм / p_атм. + Ε_η + Ε_T = 16,2%

Ε_σ = Ε_λ + Ε_T + Ε_Δp = 16,4%

 

Абсолютная погрешность:

 

Δη = η_ср. · Ε_η = 109,12·10^-8 · 0,16=17,46·10^-8

Δλ = λ_ср. · Ε_λ = 0,58·10^-8 · 0,162 = 0,09·10^-8

Δσ = σ_ср. · Ε_σ = 1,32·10^-9 · 0,164 = 0,21·10^-9

4. Относительная погрешность:

Ε_Δp =Δh + Δh₂ / h₁ – h₂ = 0,5+0,5 / 99 - 81 = 5%

Ε_η = Ε_Δp + Ε_t = 0,05 + 0,01/50,34 = 5%

Ε_λ = Δp_атм. / p_атм. + Ε_η + Ε_T = 7%

Ε_σ = Ε_λ + Ε_T + Ε_Δp = 9%

 

Абсолютная погрешность:

 

Δη = η_ср. · Ε_η = 109,12·10^-8 · 0,05=5,45·10^-8

Δλ = λ_ср. · Ε_λ = 0,58·10^-8 · 0,07 = 0,04·10^-8

Δσ = σ_ср. · Ε_σ = 1,32·10^-9 · 0,09 = 0,11·10^-9

5. Относительная погрешность:

Ε_Δp =Δh + Δh₂ / h₁ – h₂ = 0,5+0,5 / 86 - 74 = 8%

Ε_η = Ε_Δp + Ε_t = 0,08 + 0,01/45,28 = 8%

Ε_λ = Δp_атм./ p_атм. + Ε_η + Ε_T = 10%

Ε_σ = Ε_λ + Ε_T + Ε_Δp = 12%

 

Абсолютная погрешность:

 

Δη = η_ср. · Ε_η = 109,12·10^-8 · 0,08 = 8,72·10^-8

Δλ = λ_ср. · Ε_λ = 0,58·10^-8 · 0,1 = 0,058·10^-8

Δσ = σ_ср. · Ε_σ = 1,32·10^-9 · 0,12 = 0,15·10^-9

Таблица измерений.

 

h1	Δh1	h2	Δh2	H1	ΔH1	H2	ΔH2	t	Δt	T	ΔT
10-3м	10-3м	10-3м	10-3м	10-2м	10-2м	10-2м	10-2м	с	с	(0С)	(0С)
	0,5		0,5	26,4	0,05	0,05	21,6	41,15	0,01		0,5
	0,5		0,5	20,3	0,05	0,05	17,1	39,9	0,01		0,5
	0,5		0,5	17,1	0,05	0,05	14,3	26,04	0,01		0,5
	0,5		0,5	26,3	0,05	0,05	21,5	50,94	0,01		0,5
	0,5		0,5	21,9	0,05	0,05	17,9	45,28	0,01		0,5

 

Результаты вычислений.

η = (109,12 + 5,45) · 10^-8 Па·с

λ = (0,58 + 0,04) · 10^-8 м

σ = (1,32 + 0,11) · 10^-9 м