Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли)

Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании, тогда.

Введем случайные величины μ_i—число успехов в i-ом испытании. Тогда.

μi
P	p	q

, (т.к.).

(т.е. дисперсия ограничена).

μ₁, μ₂,…, μ_n—независимы. По закону больших чисел в форме Чебышёва.

.

.

В чем смысл закона больших чисел в форме Бернулли?

Пусть в результате эксперимента может произойти или не произойти событие А. P(A)—вероятность события А в одном эксперименте. Эксперимент повторяется N раз, N(A)—число появлений события А в этих N экспериментах.

—относительная частота появления события А.

. N(A)=μ,.

Таким образом, закон больших чисел в форме Бернулли теоретически подтверждает устойчивость относительных частот, т.е. стабилизацию при большом числе испытаний относительной частоты вокруг вероятности (относительная частота ≈Р(А)).

 

***********************************

 

Центральная предельная теорема.

Теорема. (Ц.П.Т.). Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения и конечное математическое ожидание а и дисперсию G². Тогда при вероятность того, что, где.

N(x)—функция стандартного нормального распределения.

Замечание 1. Центральная предельная теорема обосновывает тот факт, что нормальное распределение встречается в природе чаще других.

Замечание 2. При больших, поэтому. ЦПТ можно записать в другой форме:.

 

Функция надежности. Показательный закон надежности.

Характеристическое свойство показательного закона надежности.

o Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того, «простое» оно или «сложное».

Пусть элемент начинает работать в момент времени t₀=0, а по истечении временного интервала длительности t происходит его отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину—длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t, то, следовательно, за интервал времени длительности t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения определяет вероятность отказа элемента за интервал времени длительности t. Следовательно, вероятность безотказной работы за этот же интервал времени длительности t, т.е. вероятность противоположного события T>t равна (1).

o Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за интервал времени длительности t:.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого, где t>0.

Следовательно, в силу (1)функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид:.

o Показательным законом надежности называют функцию

(2), где λ—интенсивность отказов.

Формула (2) позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительности t, если время безотказной работы имеет показательное распределение.

Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с интенсивностью λ=0,02. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100ч.

.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительности t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит от длительности интервала времени t (при заданной интенсивности отказов λ).

Введем обозначения событий:

А={безотказная работа на интервале (0, t₀) длительности t₀}; В={безотказная работа на интервале (t₀,t₀+t) длительности t}.

По формуле (2),.

.

.

Полученная формула не содержит t₀, а содержит только t.

Таким образом, условная вероятность безотказной работы элемента в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Таким образом, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем».

Замечание. Можно доказать, что рассматриваемым свойством обладает только показательное распределение. Поэтому, если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону. Например, при допущении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, вероятность попадания метеорита в космический корабль не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, случайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону.

 

Случайные функции.

o Случайной функцией называется функция X(t), значение которой при любом значении аргумента t является случайной величиной.

Другими словами, случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, при этом заранее не известно, какой именно.

o Конкретный вид, принимаемый случайной величиной в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Т.к. на практике аргумент t чаще всего является временным, то случайную функцию иначе называют случайным процессом.

На рисунке изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса.

Если зафиксировать значение аргумента t, то случайная функция X(t) превратится в случайную величину, которую называют сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t. Будем считать распределение сечения непрерывным. Тогда Х(t) при данном t определяется плотностью распределения p(x; t).

Очевидно, p(x; t) не является исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t), поскольку она не выражает зависимости между сечениями X(t) в разные моменты времени t. Более полную характеристику дает функция —совместная плотность распределения системы случайных величин, где t₁ и t₂—произвольные значения аргумента t случайной функции. Еще более полную характеристику случайной функции X(t) даст совместимая плотность распределения системы трех случайных величин и т.д.

o Говорят, что случайный процесс имеет порядок n, если он полностью определяется плотностью совместимого распределения n произвольных сечений процесса, т.е. системы n случайных величин, где X(t_i)—сечение процесса, отвечающее моменту времени t_i, но не определяется заданием совместного распределения меньшего, чем n, числа сечений.

o Если плотность совместного распределения произвольных двух сечений процесса вполне его определяет, то такой процесс называется марковским.

 

Пусть имеется случайная функция X(t). Возникает задача описания ее с помощью одной или нескольких неслучайных характеристик. В качестве первой из них естественно взять функцию —математическое ожидание случайного процесса. В качестве второй берется среднее квадратическое отклонение случайного процесса.

 

Эти характеристики являются некоторыми функциями от t. Первая из них—это средняя траектория для всех возможных реализаций. Вторая характеризует возможный разброс реализаций случайной функции около средней траектории. Но и этих характеристик недостаточно. Важно знать зависимость величин X(t₁) и X(t₂). Эту зависимость можно характеризовать с помощью корреляционной функции или корреляционного момента.

. (1)

 

Пусть имеются два случайных процесса, по нескольку реализаций которых изображено на рисунках.

У этих случайных процессов примерно одинаковые математические ожидания и средние квадратичные отклонения. Тем не менее это различные процессы. Всякая реализация для случайной функции X₁(t) медленно меняет свои значения с изменением t, чего нельзя сказать о случайной функции X₂(t). У первого процесса зависимость между сечениями X₁(t) и будет больше, чем зависимость для сечений X₂(t) и второго процесса, т.е. убывает медленнее, чем, при увеличении Δt. Во втором случае процесс быстрее «забывает» свое прошлое.

Остановимся на свойствах корреляционной функции, которые вытекают из свойств корреляционного момента пары случайных величин.

Свойство 1. Свойство симметричности.

Свойство 2. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайное слагаемое, то от этого корреляционная функция не изменится, т.е..

Действительно,

 

 

Свойство 3., где —неслучайная функция.

 

 

При

o Центрированной случацной функцией, соответствующей X(t), называется (2)

Очевидно, математическое ожидание центрированной функции—тождественный нуль, среднее квадратичное отклонение и корреляционная функция такие же, как и у X(t).

o Нормированной называется случайная функция

(3),

 

,.

Для этой функции,, —коэффициент линейной корреляции между X(t₁) и X(t₂).