Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величиныв заданный интервал

Определение. Непрерывной случайной величиной , заданной на некотором интервале или ,называется такая случайная величина, которая может принимать в результате серии испытаний любое значение из интервала или .

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется предел отношения вероятности попадания значения непрерывной случайной величины в интервал к при если такой предел существует:

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

В частности, если все возможные значения непрерывной случайной величины находятся в интервале , то

Определение. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины равна несобственному интегралу от плотности распределения с переменным верхним пределом:

Исходя из выше изложенного, плотность вероятности можно определить как первую производную от функции распределения:

Теорема. Пусть − плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Тогдавероятность попадания значения случайной величины в интервал равна определенному интегралу от функции в пределах от до

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины возможные значения которой принадлежат всей оси 0х, определяется равенством:

Дисперсия непрерывной случайной величины возможные значения которой принадлежат всей оси 0х, определяется равенством:

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, как и для дискретной случайной величины, определяется равенством

Равномерное распределение

Определение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины если на интервале , которому принадлежат все возможные значения плотность сохраняет постоянное значение и задается следующим образом:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины распределенной равномерно, соответственно равны:

Пример. Цена деления шкалы амперметра 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при округлении ошибка будет превышать 0,02 А.

Ошибку округления показаний прибора можно рассматривать как случайную величину распределенную равномерно в интервале между целыми делениями.

Поскольку интервал равен цене деления амперметра, т. е. 0,1. При этом ошибка округления будет удовлетворять условию, если будет принадлежать интервалу . Тогда плотность распределения имеет вид:

 

По формуле найдем соответствующую вероятность:

Нормальное распределение

Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины плотность которого имеет вид:

где − математическое ожидание, − среднее квадратическое отклонение.

Вероятность попадания значения случайной величины в интервал равна: ,

где − функция Лапласа, значения которой представлены в приложении.