Моделирование периодического штрихового изображения. Метод Фурье-преобразования. Пространственно-частотный анализ

Очень часто в полиграфии мы имеем дело с периодическими решетками. Для этих периодических решеток можно использовать метод Фурье-преобразования.

 

Любая периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье.

Эта функция может быть разложена в ряд:

- это частота решетки, если мы рассматриваем пространственную решетку.

Обратное Фурье-преобразование:

В данной формуле коэффициент определяется как интеграл:

коэффициент определяется как

и коэффициент как ; где 1, 2, 3, 4, …

Учитывая, что разница между cos и sin только в :

 

И в векторной форме:

, ; , .

 

Подставляя сюда наше выражение:

Мы знаем, что по формуле

Отсюда получаем:

А также используя формулу Эйлера:

На основе формулы Эйлера мы можем записать нашу формулу:

В этом выражении

Таким образом мы совершили спектральный или гармонический анализ, в котором функция представлена в виде набора составляющих, отличающихся между собой по преобразованной частоте и амплитуде. Величины определяются по ним.

Сами гармонические составляющие отличаются между собой в целое число раз; причем каждая имеет свою амплитуду, отличающую , , .

Представление ряда Фурье в виде дискретных функций

Имея периодическую функцию:

При чем - это первая гармоника. При преобразовании Фурье в пространственный дискретный ряд, мы нашу амплитуду выражаем дискретными значениями.

Мы имеем первую или основную гармонику. При частоте мы уже можем отложить амплитуду первой гармоники:

Все гармоники отличаются в целое число раз. Между и - целое число, которое между и ; и всегда одинаково.

 

Ряд является бесконечным и меняется от 1 или 0 до . Но мы этот ряд можем ограничить числом членов, так как остальные пренебрежительно малы.

 

Бывает так, что отсутствуют либо четные, либо нечетные гармоники.

Если х и –х по модулю равны, то, то наша функция – четная – симметричная относительно оси х. Поэтому она теряет -составляющую; т. е. cos-Фурье составляющие равны нулю; остаются только sin-Фурье составляющие.

Если периодическая функция – нечетная – симметрична относительно оси у, то наш ряд теряет -составляющую; т. е. cos sin -Фурье составляющие равны нулю; остаются только cos -Фурье составляющие.

Ряды Фурье.

Обладают тем преимуществом, что он обладает наибольшей точностью при представлении функции, ограниченной числом членов. Ошибки являются минимальными. Другое преимущество – если мы эту функцию представляем разными членами ряда и их недостаточно; то мы добавляем число, но предыдущие члены ряда при добавлении не изменяются. И третье преимущество – это возможность упрощения ряда Фурье для четных функций.

 

Выше мы рассмотрели разложение функции в ряд Фурье. Это прямое преобразование ряда Фурье. Также мы можем получить обратное преобразование ряда Фурье.

 

Рассмотрим пример обратного Фурье-преобразования для прямоугольной решетки с п-образным распределением освещенности и с равной шириной штриха и просвета.

 

 

при

 

при

Мы можем записать ряд Фурье как:

Представим теперь это графически. В нашей формуле . Следующий член – это первая или основная гармоника. Если у нас Р=0,1 мм, то у нас мм. Четные гармоники у нас равны нулю. Следовательно, мы переходим сразу к третьей гармонике.

 

 

Мы ограничились пятью нечетными гармониками.. Сделаем обратное Фурье-преобразоование – найдем из наших гармоник функцию.

Берем нашу составляющую и строим по ней амплитуду: . Откладываем и от нее откладываем гармонические составляющие синусоиды.

1

Следующая гармоническая составляющая будет иметь амплитуду втрое меньшую, а частоту втрое большую.

 

1,2

 

Пятая гармоника будет иметь частоту в пять раз больше, а амплитуду в пять раз меньше.

1,2,3

Теперь суммируем наши гармоники.

1+2

Получаем уже достаточно приближенную к П-образному сигналу функцию. Чем больше членов ряда мы будем использовать, тем более точное у нас будет происходить обратное Фурье-преобразование.