Анализ полных парных связей

Отчет по лабораторной работе

«Статистические методы исследований»

Исполнитель: Миронов А.А.

Специальность: 03.02.08 – « Экология»

Преподаватель: проф. Пименов. В.И.

Санкт-Петербург

Введение

Целью статистического исследования зависимостей является построение математической модели объекта. Ее знание необходимо для прогнозирования поведения или свойств объекта

При построении статистических моделей объект рассматривается как «черный ящик», а реальные взаимосвязи аппроксимируются некоторыми зависимостями.

Входные переменные или признаки называют независимыми переменными, факторами. Выходные переменные характеризуют, например, физические и химические свойства производимого продукта или технико-экономические показатели процесса. Их называют зависимыми переменными или откликами. Случайные компоненты отражают влияние неучтенных на “входе” факторов, например, изменение характеристик оборудования вследствие износа, присутствие случайных примесей, а также случайные ошибки в измерении Y.

Конечной целью статистического исследования зависимостей является построение математической модели объекта

которое осуществляется по результатам n измерений входных и выходных переменных (X_i, Y_i), i=1,..., n.

Задание №1. Первичная статистическая обработка: расчет выборочных характеристик, интервальная оценка параметров:

1) Привести названия выборочных характеристик на русском языке и их значения;

2) Привести графики гистограммы и эмпирической функции распределения для каждого из параметров X ₂ и Y;

3) Записать в математической форме 95%-е доверительные интервалы для математических ожиданий m_x2, m_y(например, 73.67<m_x2<75.63) и стандартных отклонений s_x2,s_y;

4) По стандартизованным величинам асимметрии A и эксцесса E сделать предположения о виде законов распределения параметров X₂, Y.

1. Расчет основных и дополнительных выборочных характеристик для параметров X₂ и Y

В табл. 1 представлены исходные данные для статистической обработки.

Таблица 1 – Исходные данные (вариант №15)

X1 X2 Y

25 66,0585 9,00123199376

26 42,0645 8,33569368849

27 39,5099 7,72719036745

28 44,3478 8,5235277758

29 53,0357 8,77742131898

30 42,8061 8,7069923663

31 39,1771 8,41498032872

32 51,8017 9,44260712517

33 47,0298 8,90801474431

34 51,2993 9,11110558875

35 63,2825 9,944641313

36 57,7105 10,0191279286

37 63,2398 10,3956277183

38 53,7431 9,85547580822

39 55,9805 9,9345447396

40 42,3791 9,37107992877

41 37,2077 9,07062956999

42 53,9396 10,1549859105

43 49,4274 10,1206430538

44 48,4345 9,94833000755

45 63,8514 11,0708674878

46 45,8418 10,0476317995

47 37,0302 9,25618207697

48 46,7369 10,1621247391

49 39,4807 9,86962108036

50 47,8018 10,5404754453

51 45,3467 10,2176414974

52 47,0218 10,3268487612

53 43,5582 10,1974533169

54 46,6813 10,5390882191

55 51,5947 10,8024021996

56 35,8886 9,63179457429

57 42,2585 10,0588443074

58 52,1683 10,8834031989

59 54,3159 11,1431298845

60 50,2236 11,1672965903

61 52,9705 11,4804739453

62 53,4466 11,4535931696

63 43,9447 10,6270501066

64 59,1381 12,0494980357

65 57,303 12,0056316316

67 45,3918 10,9333924023

68 35,7222 10,4246166881

69 56,9479 11,9883181499

70 60,3098 12,1208607867

71 39,6918 10,8818226282

72 41,0465 11,2629718612

73 45,2616 11,1806934725

Проведем расчет основных и дополнительных выборочных характеристик для параметров X₂ и Y.

Необходимые процедуры собраны в разделе Describe=>NumericData=>One-Variable Analysis. Выборочные точечные характеристики рассчитываются табличной процедурой Summary Statistics.

В табл.2 представлены результаты расчета точечных характеристик для параметров X₂ и Y

Таблица 2-. Результаты расчета точечных характеристик для параметров X₂ и Y

	Х2	Y
Count	Кол-во	48,0	48,0
Average	Среднее	48,8219	10,1685
Variance	Дисперсия	62,6234	1,10964
Standard deviation	Стандартное отклонение	7,9135	1,05339
Minimum	Минимальное значение	35,7222	7,72719
Maximum	Максимальное значение	66,0585	12,1209
Range	Размах значений	0,906348	-0,37558
Stnd. skewness	Стандартизованная асимметрия	-0,904617	-0,59267
Stnd. kurtosis	Стандартизованный эксцесс	2343,45	488,088
Sum	Сумма всех замеров переменной	48,0	48,0

2. Построить гистограммы и эмпирические функции распределения для параметров X₂ и Y

Построение гистограммы для выбранной переменной осуществляется процедурой Frequency Histogram после выбора инструмента Graphics Options.

График F_n(x) эмпирической функции распределения строится установкой в том же контекстном меню режимов Relative, Cumulative и Poligon вместо заданного по умолчанию режима Histogram.

На рис. 1 представлены гистограммы распределения параметров X₂ и Y.

На рис. 2 представлены эмпирические функции распределения параметров X₂ и Y.

Рисунок 1. — Гистограммы распределения параметра X₂ и Y

Рисунок 2. — Эмпирические функции распределения параметров X₂ и Y

3. Для параметров X ₂, Y построить в пакете Statgraphics 95% -ое доверительные интервалы: для математического ожидания и для стандартного отклонения

В табл.3 отображены значения доверительных интервалов для среднего значения и стандартного отклонения параметров X₂ и Y.

Таблица 3 – значения доверительных интервалов для среднего значения и стандартного отклонения параметров X₂и Y.

	95%-е доверительные интервалы для среднего значения, m	95%-е доверительные интервалы для стандартного отклонения, s
X₂	46,524≤m<51,1197	6,58774 ≤s<9,91229
Y	9,86262≤m<10,4744	0,876917 ≤s<1,31946

Вывод по результатам расчета для параметров X₂ и Y.

В данной таблице приведены сводные статистические данные по параметрам X₁, X₂ и Y. Особый интерес здесь представляют стандартизованная асимметрия и стандартизованный эксцесс, которые могут быть использованы для определения закона распределения. В нашем случае значения этих статистических данных для параметров X₁, X₂ и Y лежат в пределах диапазона:

· Доверительный интервал для среднего значения x2 находится где-то между 46,524

и 51,1197, а для стандартного отклонения где-то между 6,58774 и 9,91229;

· Доверительный интервал для среднего значения y находится где-то между 9,86262 и 10,4744, а для стандартного отклонения где-то между 0,876917 и 1,31946.

Эти полученные данные указывают на нормальное распределение величин X₂ и Y.

Задание №2. Расчет парных корреляций:

1) создать новые переменные типа x1x1, x1x2, x2x2;

2) выполнить анализ полных парных связей;

3) проанализировать коэффициенты корреляции для всех возможных пар переменных, содержащих Y.

Создание новых переменных

Для задания имени новой переменной нужно последовательно выделить заголовок пустого столбца и в контекстном меню (после щелчка правой клавишей мыши) выбрать Modify Column, после чего в поле Name ввести одно из указанных имен. Создание столбца со значениями новой переменной, которые вычисляются через выражение для ранее созданных переменных выполняются с помощью команды Generate Data из контекстного меню. Задать выражения вида x1*х1, x1*x2, x2*х2. В табл.4 представлены новые переменные для анализа.

Таблица 4 - Новые переменные для анализа

№	X1	X2	Y	X1X1	X1X2	X2X2
		66,0585	9,00123199376		1651,4625	4363,72542225
		42,0645	8,33569368849		1093,677	1769,42216025
		39,5099	7,72719036745		1066,7673	1561,03219801
		44,3478	8,5235277758		1241,7384	1966,72736484
		53,0357	8,77742131898		1538,0353	2812,78547449
		42,8061	8,7069923663		1284,183	1832,36219721
		39,1771	8,41498032872		1214,4901	1534,84516441
		51,8017	9,44260712517		1657,6544	2683,41612289
		47,0298	8,90801474431		1551,9834	2211,80208804
		51,2993	9,11110558875		1744,1762	2631,61818049
		63,2825	9,944641313		2214,8875	4004,67480625
		57,7105	10,0191279286		2077,578	3330,50181025
		63,2398	10,3956277183		2339,8726	3999,27230404
		53,7431	9,85547580822		2042,2378	2888,32079761
		55,9805	9,9345447396		2183,2395	3133,81638025
		42,3791	9,37107992877		1695,164	1795,98811681
		37,2077	9,07062956999		1525,5157	1384,41293929
		53,9396	10,1549859105		2265,4632	2909,48044816
		49,4274	10,1206430538		2125,3782	2443,06787076
		48,4345	9,94833000755		2131,118	2345,90079025
		63,8514	11,0708674878		2873,313	4077,00128196
		45,8418	10,0476317995		2108,7228	2101,47062724
		37,0302	9,25618207697		1740,4194	1371,23571204
		46,7369	10,1621247391		2243,3712	2184,33782161
		39,4807	9,86962108036		1934,5543	1558,72567249
		47,8018	10,5404754453		2390,09	2285,01208324
		45,3467	10,2176414974		2312,6817	2056,32320089
		47,0218	10,3268487612		2445,1336	2211,04967524
		43,5582	10,1974533169		2308,5846	1897,31678724
		46,6813	10,5390882191		2520,7902	2179,14376969
		51,5947	10,8024021996		2837,7085	2662,01306809
		35,8886	9,63179457429		2009,7616	1287,99160996
		42,2585	10,0588443074		2408,7345	1785,78082225
		52,1683	10,8834031989		3025,7614	2721,53152489
		54,3159	11,1431298845		3204,6381	2950,21699281
		50,2236	11,1672965903		3013,416	2522,40999696
		52,9705	11,4804739453		3231,2005	2805,87387025
		53,4466	11,4535931696		3313,6892	2856,53905156
		43,9447	10,6270501066		2768,5161	1931,13665809
		59,1381	12,0494980357		3784,8384	3497,31487161
		57,303	12,0056316316		3724,695	3283,633809
		45,3918	10,9333924023		3041,2506	2060,41550724
		35,7222	10,4246166881		2429,1096	1276,07557284
		56,9479	11,9883181499		3929,4051	3243,06331441
		60,3098	12,1208607867		4221,686	3637,27197604
		39,6918	10,8818226282		2818,1178	1575,43898724
		41,0465	11,2629718612		2955,348	1684,81516225
		45,2616	11,1806934725		3304,0968	2048,61243456

Анализ полных парных связей

Матрица парных коэффициентов корреляции вычисляется в разделе Describe / Numeric Data / Multiple Variable Analysis, с помощью табличной процедуры Correlations. Ввести анализируемые векторы данных y, x1, x2, x1x1, x1x2, x2x2, соответствующие исследуемым переменным. Результаты анализа представлены в табл.5.

Таблица 5 – Результаты анализа полных парных связей

	y	x1	x2	X1 X1	X2 X2	X1 X2
у (r)		0,8593	0,3932	0,8377	0,3777	0,9791
у (n)
у (α)			0,0057		0,0081

Проанализировать коэффициенты корреляции для всех возможных пар переменных, содержащих y.

Входная переменная x1: r→1 (приaвыч =0) связь между переменными положительная (прямая, величины х1 и Y с точностью до случайных погрешностей одновременно возрастают или убывают). Для сочетаний y и x1, aвыч меньшие 0.05, означают возможную значимость соответствующих связей, т.е.связь положительная;

Входная переменная X1 X2: r→1 (при aвыч =0) связь между переменными положительная (прямая, величины X1 X2 и Y с точностью до случайных погрешностей одновременно возрастают или убывают); Для сочетаний y и X1 X2, aвыч меньшие 0.05, означают возможную значимость соответствующих связей.

Входная переменная X1 X1: r→1 (приaвыч =0) связь между переменными положительная (прямая, величины X1 X1 и Y с точностью до случайных погрешностей одновременно возрастают или убывают); Для сочетаний y и X1 X1, aвыч меньшие 0.05, означают возможную значимость соответствующих связей, т.е.связь положительная;

Входная переменная X2 X2: r→1 (приaвыч =0) связь между переменными положительная (прямая, величины X2 X2 и Y с точностью до случайных погрешностей одновременно возрастают или убывают); Для сочетаний y и X2 X2, aвыч меньшие 0.05, означают возможную значимость соответствующих связей, т.е.связь положительная;

Входная переменная x2: r→1 (приaвыч =0) связь между переменными положительная (прямая, величины х2 и Y с точностью до случайных погрешностей одновременно возрастают или убывают); Для сочетаний y и X2, aвыч меньшие 0.05, означают возможную значимость соответствующих связей, т.е.связь положительная;

Задание № 3. Многофакторный регрессионный анализ:

1) выполнить пошаговую регрессию;

2) выполнить дисперсионный анализ выбранной модели регрессии.