Тема 2. Расчеты по процентным ставкам

В практике банков применяются следующие виды процентных ставок:

1. Ставки процентов – применяются при начислении процентных платежей или в конце срока действия договора, или в течение срока действия. Ставки процентов делятся на простые и сложные. При использовании простых ставок процентов сумма к погашению рассчитывается по формуле:

S=P х (1+in), где

S – сумма к погашению;

P – первоначальная сумма долга;

i - простая ставка процентов в десятичной дроби;

n – продолжительность договора в годах.

При использовании сложных ставок процентов сумма к погашению рассчитывается по формуле:

S=P х (1+i)^п

2. Учетные ставки – применяются при начислении процентных платежей в момент выдачи ссуды, а в практике российских банков при учете векселей.

. При использовании простых учетных ставок сумма учета рассчитывается по формуле:

P= S х (1-dn), где

S – номинал векселя;

P – сумма учета (покупки);

d - простая учетная ставка в десятичной дроби;

n – продолжительность договора в годах.

При использовании сложных учетных ставок сумма к погашению рассчитывается по формуле:

P= S х (1-d)ⁿ

 

ПРИМЕР 1.1. Рассчитать номинальную процентную ставку, если реальная процентная ставка составляет 6%, а уровень инфляции - 3%; 35%.

Решение. Так как при уровне инфляции, не превышающем 10%, номинальная процентная ставка рассчитывается по формуле i = r_d + e, а более 10% - по формуле i = r_d + e + r_de, то номинальная процентная ставка (i):

1. При уровне инфляции 3% i = 0,06 + 0,03 = 0,09 или 9%

2. При уровне инфляции 35% i = 0,06 + 0,35 + 0,06 х 0,35 = 0,431 или 43,1%

ПРИМЕР 1.2. При открытии сберегательного счета по ставке 9% годовых. 5.06.2002 на счет была положена сумма 250 руб. Затем на счет 16.07.2002 была добавлена сумма 150 руб.; 13.09.2002 со счета была снята сумма 300 руб., а 20.11.2002 счет был закрыт. Определить общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета (в каждом месяце по 30 дней).

Решение. При изменении суммы на счете общая сумма процентов за весь срок вклада исчисляется по методике расчета процентных чисел. Алгоритм расчетов следующий:

1. Определяем срок хранения каждой суммы денег:

а) срок хранения 250 руб. составил: 26 + 30 + 16 – 1 = 71 день

б) срок хранения 400 руб.: 15 + 30 + 13 – 1 = 57 дней

в) срок хранения 100 руб.: 18 + 30 + 20 – 1 = 67 дней

 

сумма х длительность хранения в днях

2. Находим сумму процентных чисел = ------------------------------------------ =

 

250 х 71 + 400 х 57 + 100 х 67 47250

= --------------------------------------- = ----------- = 472,5

100 100

3. Постоянный делитель = количество дней в год: годовая ставка процентов = 360: 9 = 40

4. Начисленные проценты за весь срок = сумма процентных чисел: постоянный делитель = 472,5: 40 = 11,81 руб.

5. Сумма, полученная владельцев счета при его закрытии, составит 11,81 + 100 = 111,81 руб.

ПРИМЕР 1.3. Ссуда под 20% годовых выделена на 2 года в размере 20 тыс. руб. Какую сумму должен вернуть заемщик по истечении этого срока, и какова сумма уплаченных процентов? (по схеме сложных процентов).

Решение. FV = P x (1 + i)­­ⁿ = 20 х (1 + 0,2)² = 28,8 тыс. руб.

I = FV – P = 28,8 – 20 = 8,8 тыс. руб.

ПРИМЕР 1.4. Банк начисляет проценты на вклады по сложной ставке 6% годовых. Определить сумму начисленных процентов, если вклад 12000 руб. был востребован через 2,5 года.

Решение. Банки могут давать ссуду на нецелое число лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

а) по схеме сложных процентов: FV = P x (1 + i)^k+f

б) по смешанной схеме, когда используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов – для дробной части года:

FV = P [ (1 + i)ⁿ x (1 + f x i), где:

f – дробная часть года;

k – целое число лет.

Тогда:

а) по схеме сложных процентов: FV = P x (1 + i)^n+f = 12000 х (1 + 0,06)^2+0,5 = 12000 х 1,06^2,5 = 13881,6 руб.

1,06^2,5 = 1,06^{2 1/2} = 1,06^5/2 = Ö 1,06⁵ = 1,1568

I = FV – Р = 13881,6 – 12000 = 1881,6 руб.

б) по смешанной схеме процентов: FV = P х (1 + i)n x (1 + f x i) = 12000 х (1 + 0,06)² х (1 + 0,5 х 0,06) = 12000 х 1,1236 х 1,03 = 13887,7 руб.

I = FV – Р = 13887,7 – 12000 = 1887,7 руб.

ПРИМЕР 1.5. Банк предоставил ссуду в размере 100 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

а) по схеме сложных процентов: FV = P x (1 + i)^n+f = 100 х (1 + 0,3)^2+0,5 = 100 х 1,3^2,5 = 192,7 тыс. руб.

б) по смешанной схеме процентов: FV = P х (1 + i)ⁿ x (1 + f x i) = 100 х (1 + 0,3)² х (1 + 0,5 х 0,3) = 194,4 тыс. руб.

 

ПРИМЕР 1.6. Банк выдал кредит 30 тыс. рублей на год, требуемая реальная доходность операции равна 6% годовых. Ожидаемый уровень инфляции – 12%.

Определить:

1. ставку процентов по кредиту с учетом инфляции (i);

2. погашаемую сумму (FV);

3. сумму начисленных процентов (I).

Решение.

1. i = 0,06 + 0,12 + 0,06 х 0,12 = 0,1872 или 18,72%

2. FV = 30 х (1 + 0,1872) = 35,616 тыс. руб.

3. I = 35,616 – 30 = 5,616 тыс. руб.

ПРИМЕР 1.7. Вклад в сумме 5000 руб. положен в банк на 3 месяца с ежемесячным начислением сложных процентов. Годовая ставка по вкладам – 30%. Уровень инфляции – 4% в месяц. Определить:

1. сумму вклада с процентами (FV);

2. индекс инфляции за три месяца (I_in);

3. сумму вклада с процентами с точки зрения покупательной способности FV_r;

Решение. Находим месячную ставку процента: i = 30: 12 = 2,5%

1. FV = 5000 х (1 + 0,025)³ = 5384,45 тыс. руб.­­

2. I_in = 1,04³ = 1,12

3. FV_r = FV: I_in = 5384,45: 1,12 = 4807,54 тыс. руб.

ЗАДАЧА 1. Вкладчик собирается положить деньги в банк с целью накопления через год 780 тыс. руб. Банк начисляет проценты по ставке 7,3% годовых. Определить требуемую сумму вклада.

ЗАДАЧА 2. Банк принимает депозиты на 3 мес. по ставке 7,10%, на 6 мес. по ставке 8,23% и на год по ставке 9,58% годовых. Определить сумму, которую получит владелец депозита в сумме 677 тыс. руб. во всех трех случаях.

ЗАДАЧА 3. Банк принимает вклады до востребования по ставке 4% годовых. Определить сумму процента на вклад 650 руб., размещенный на год.

ЗАДАЧА 4. Депозит в размере 31780 руб. положен в банк на 2 года. Определить сумму начисленных процентов, при простой и сложной ставках, равных 14,75% годовых.

ЗАДАЧА 5. Определить количество денег для начисления % при различной практике их начисления, если вклад до востребования в сумме 28,33 тыс. руб. был размещен с 20.01 по 15.03. Процентная ставка – 9,22%.

ЗАДАЧА 6. Вклад 500 руб. был размещен в банке с 21.06. по ставке 4,0% годовых. При востребовании вклада 21.09 вкладчику были начислены в размере 50 руб. Определить какую практику начисления использовал банк.

ЗАДАЧА 7. Определить срок в годах, за который вклад 2000 руб. возрастает до 13000 руб. при начислении процентов по простой ставке 11,37% годовых.

ЗАДАЧА 8. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 1,87 млн.руб., срок предоставления – 25 февраля, срок погашения 11 января при ставке процента – 10,63% годовых. Определить сумму процентов за кредит при различной практике их начисления.

ЗАДАЧА 9. Ставка процентов банка по вкладам до востребования, составляющая в начале года 6,24 % годовых, через полгода была уменьшена до 4,12%, а еще через 3 месяца – до 2,94% годовых. Определить сумму процентов, которые были начислены на вклад 3890 руб. за год.

ЗАДАЧА 10. Банк начисляет процент на вклады по сложной ставке 8% годовых. Определить сумму начисленных процентов, если вклад 781000 руб. был востребован через 2,5 года.

ЗАДАЧА 11. На вклады ежеквартально начисляется сложные проценты по номинальной годовой ставке 8%. Определить, какую сумму надо положить на вклад для накопления через 3 квартала 500 тыс. руб.

ЗАДАЧА 12. Потребительский кредит выдан на сумму 78,23 тыс. руб. открыт на 6,5 лет по ставке 16,8% годовых. Погашение кредита должно осуществляться равными взносами. Определить стоимость кредита, погашаемую сумму и размер взносов, если погашение кредита будет осуществляться; а) ежеквартально; б) ежемесячно

ЗАДАЧА 13. Определить доход по 90-дневному векселю номиналом 18,11 тыс. руб., размещенному под 16,5% годовых.

ЗАДАЧА 14. Вексель на сумму 50,54 тыс. руб. предъявлен в банк за полгода до срока его погашения. Банк для определения своего дохода использует учетную ставку, равную 12,7% годовых. Определить сумму, выплаченную владельцу векселя, и сумму дохода (дисконта), коммерческого банка.

ЗАДАЧА 15. Вексель на сумму 100 тыс. руб. предъявлен в банк для учета за 100 дней до срока погашения. Определить сумму, полученную предъявителем векселя, и сумму дохода банка, если банк для его определения будет использовать учётную ставку, равную 7,2% годовых (расчётное количество дней в году 365).

ЗАДАЧА 16. Банк выдал кредит в размере 111,66 тыс. руб., на 9 мес. по ставке 8,3% годовых. Определить погашаемую сумму и сумму процентов за кредит. (Метод уменьшаемого остатка)

ЗАДАЧА 17. Кредит в размере 365,8 тыс. руб. был взят 12.04. со сроком погашения 10. 06. по ставке 18,4% годовых. Определить сумму процентов за кредит при различной практике их начисления.

ЗАДАЧА 18. По условиям кредитного договора ставка простых процентов в первом месяце пользования кредитом равна 4,6% годовых, а в каждом последующем месяце увеличивается на 3,9 процентных пункта. Определить сумму процентов за кредит в размере 12,85 тыс. руб., взятый на 11 месяцев.

ЗАДАЧА 19. Банк выдал кредит 10 тыс. руб. на 2 года по сложной годовой ставке 50% годовых с погашением единовременным платежом. Определить погашаемую сумму и сумму начисляемых процентов.

ЗАДАЧА 20. Потребительский кредит выдан на сумму 116 тыс. руб. открыт на 2 года по ставке 14,5% годовых. Погашение кредита должно осуществляться равными взносами. Определить стоимость кредита, погашаемую сумму и размер взносов, если погашение кредита будет осуществляться; а) ежеквартально; б) ежемесячно

ЗАДАЧА 21. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 1,87 млн.руб., срок предоставления – 22 января, срок погашения 10 декабря при ставке процента – 14,63% годовых. Определить сумму процентов за кредит при различной практике их начисления.

ЗАДАЧА 23. Вклад в размере 200 тыс.руб. был положен в банк 12 марта и востребован 25 декабря. Ставка процентов банка составляла 80% годовых. Год не високосный. Определить сумму начисления процентов при различных методах определения срока начисления.

ЗАДАЧА 24. Кредит для покупки товара на сумму 129 млн.руб. открыт на 6 месяцев, годовая процентная ставка — 14,40%, погашение в конце каждого месяца. Определить ежемесячные платежи и сумму, которая должна быть погашена через полгода.

ЗАДАЧА 25. Через 180 дней с момента подписания контракта должник уплатит 300 тыс. руб. Кредит представлен под 6% годовых. Определить, какую сумму получит должник и сумму дисконта (временная база при дисконте и учетной ставке - 360 дней).

ЗАДАЧА 26. Трата выдана на сумму 5 млн. руб. с уплатой 17.11.200__ г. Владелец документа учел его в банке 23.09.200__ по учетной ставке 18,4%. Определить сумму, которую получит владелец и дисконт.

ЗАДАЧА 27. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 18,50 млн. руб. вырос до 22,1 млн. руб., при условии, что на сумму долга начисляются точные проценты по ставке 8%.

ЗАДАЧА 28. В контракте предусматривается погашение обязательства через 120 дней в сумме 12,98 млн. руб., первоначальная сумма долга равна 11,42 млн. руб. Необходимо определить доходность операции для кредитора в виде учетной ставки и ставки процентов.

ЗАДАЧА 29. Вклад в сумме 15478 руб. положен в банк на 6 месяцев с ежемесячным начислением сложных процентов. Годовая ставка по вкладам – 13%. Уровень инфляции – 1,5% в месяц. Определить:

4. сумму вклада с процентами (FV);

5. индекс инфляции за три месяца (I_in);

6. сумму вклада с процентами с точки зрения покупательной способности FV_r;

ЗАДАЧА 30. Процентная ставка по ссуде равна 22% годовых, ссуда предоставлена на полгода в размере 745 тыс. руб. Какую сумму должен вернуть заемщик в конце указанного срока? (схема сложных и простых процентов).

ЗАДАЧА 31. На счет в банк положена сумма в размере 30000 руб. Определить сумму процентных денег, которую можно получить через три месяца, если процентная ставка равна 15% годовых? (схема простых и сложных процентов)

ЗАДАЧА 32. При открытии сберегательного счета по ставке 12% годовых. 11.06.200_ на счет была положена сумма 8250 руб. Затем на счет 16.07.200_ была добавлена сумма 2150 руб.; 13.09.200__ со счета была снята сумма 3000 руб., а 20.11.200__ счет был закрыт. Определить общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета (в каждом месяце по 30 дней).

ЗАДАЧА 33. Банк выдал кредит на 14 месяцев в размере 425тыс. руб. Ожидаемый уровень инфляции в месяц – 2,2%. Требуемая реальная доходность операции 5,6%. Определить:

1. индекс инфляции за срок кредита (I_in);

2. ставку процентов по кредиту с учетом инфляции (i);

3. погашаемую сумму (FV);

4. сумму процентов по кредиту (I)

ЗАДАЧА 34. Вкладчик вносит во вклад 31400 руб. Начисление процента производится в размере 0,2% ежемесячно. Определить величину процентных денег, которые можно снять через 3 месяца.

ЗАДАЧА 35. Номинал векселя 9145,56 тыс. руб., на сумму векселя начисляются проценты в размере 12,7% годовых. Вексель выпущен 14 января. Срок погашения векселя- 27 сентября. Банк покупает его 17 июля. Учетная ставка банка 11,8% годовых. Требуется определить доход банка при использовании различной практики начисления процентных платежей.

ЗАДАЧА 36. Ссуда под 17,5% годовых выделена на 16 месяцев в размере 120 тыс. руб. Какую сумму должен вернуть заемщик по истечении этого срока, и какова сумма уплаченных процентов?

ЗАДАЧА 37. Кредит для покупки товара на сумму 78,65 млн.руб. открыт на 5 лет, годовая процентная ставка — 16,7%, погашение в конце каждого месяца. Определить ежемесячные платежи и сумму, которая должна быть погашена через полгода.

ЗАДАЧА 38. Банк выдал кредит в сумме 50 тыс. руб. на три квартала по простой ставке процентов, которая в первом квартале составила 7,40% годовых, а в каждом последующем увеличивалась на 1,77 процентных пункта. Определите погашаемую сумму и сумму процентов.

ЗАДАЧА 39. Банк выдал кредит 1178,30 тыс. рублей на год, требуемая реальная доходность операции равна 8% годовых. Ожидаемый уровень инфляции – 14%.

Определить:

4. ставку процентов по кредиту с учетом инфляции (i);

5. погашаемую сумму (FV);

6. сумму начисленных процентов (I).

ЗАДАЧА 40. Вексель на сумму 182 тыс. ден. ед. учтен в банке за 45 дней до срока погашения по учетной ставке 26% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, если по векселю начисляются простые проценты из расчета 13% годовых. Срок обращения векселя – 587 дней.

ЗАДАЧА 41. Стороны договорились о том, что на сумму кредита, выданного на 210 дней, удерживается дисконт в размере 12%. Необходимо определить цену кредита в виде простой учетной ставки и ставки процентов.

ЗАДАЧА 42. Номинал векселя 54,2 млн. руб. на сумму векселя начисляются проценты в размере 17,6% годовых. Вексель выпущен 26 марта. Срок погашения векселя- 22 ноября. Банк покупает его 15 сентября. Учетная ставка банка 19,9% годовых. Требуется определить доход банка при использовании различной практики процентных платежей.

ЗАДАЧА 43. Вклад в сумме 8350 руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов. Годовая ставка по вкладам – 11,5%. Уровень инфляции – 6,1%. Определить:

1. сумму вклада с процентами;

2. индекс инфляции за шесть месяцев;

3. сумму вклада с процентами с точки зрения покупательной способности.

ЗАДАЧА 44. Номинал векселя 7878,2 млн. руб. на сумму векселя начисляются проценты в размере 11,2% годовых. Вексель выпущен 24 февраля. Срок погашения векселя- 25 декабря. Банк покупает его 5 августа. Учетная ставка банка 9,12% годовых. Требуется определить доход банка при использовании различной практики начисления процентных платежей.