Логицизм и формализм в обосновании математики

 

В начале XX в. были намечены три программы обоснования математики: логицизм, интуиционизм и формализм.

1. логицизма Г. Фреге. до появления парадоксов.

Задача: - свести понятия математики к понятиям логики и представить принципы математических теорий в качестве общезначимых логических истин.

Решение: А. Уайтхед и Б. Рассел: при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности редукция математической теории к логике может рассматриваться как строгое доказательство ее абсолютной непротиворечивости, гарантированности ее от противоречий любого вида.

Но: К. Гедель доказал почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории.

=(элементарные логические исчисления в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий как систем, не обладающих свойством полноты.

=(исследования Гёделя показали бесперспективность логицизма как программы обоснования математики.

 

3. формалистская Д. Гильбертом.

аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности -- гипотезы.

подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики.

* принцип финитизма, оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только через конечное.

если Брауэр хотел устранить актуальную бесконечность из математики вообще, то Гильберт считал возможным сохранить его в тех пределах, в которых оно допускает финитное обоснование.

полную формализацию теории, представлении ее аксиом в виде не имеющих содержания строчек символов. Математическая теория тем самым превращается в объект, подчиненный чисто внешним (формальным) манипуляциям, основанным исключительно на структуре ее формул.

В плане классификации очевидностей можно сказать, что формализация представляет собой редукцию всех типов математической очевидности к предметной и логической очевидности. Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования (принцип индукции и т.п.), допустимые для действий в рамках формализованной теории. Специфика формалистского подхода состоит в том, что заключение о непротиворечивости реальной математической теории предполагается вывести из непротиворечивости ее формализованного аналога.

Ряд требований к метатеории - принципы гильбертовского финитизма. Метатеория является:

1) синтаксической -имеет дело с синтаксисом теории,но не с содержанием

2) содержательной, поскольку она относится к конкретному формализму как к своему единственному предмету и в своих внелогических предпосылках не выходит за пределы описания его самоочевидных свойств;

3) финитной, не имеет дела с актуальной бесконечностью;

4) конструктивной - утверждение о существовании должно быть подтверждено процедурой построения.

 

Программа Гильберта была поставлена под сомнение теоремой Гёделя о непротиворечивости. Согласно этой теореме, если некоторая теория непротиворечива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории.

Иными словами, мы не можем доказать непротиворечивость арифметики, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики.

 

Провал программ обоснования математики привел к устойчивому скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще.

4. Современные концепции обоснования:

обосновывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности.

 

в гносеологической реабилитации логических средств, запрещенных в рассмотренных программах

обоснования математики. требования могут быть существенно смягчены без ущерба для строгости метатеоретического рассуждения.

можем отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Можно

настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности

метаязыка, которые представляются действительно существенными. Анализ показывает, что такая либерализация метатеории, будучи теоретически оправданной, привела бы к строгому обоснованию арифметики, математического анализа и существенной части теории множеств.

вывод: проблема обоснования математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле и есть все основания полагать, что возможности ее положительного решения не так ограничены, как это представляют себе скептики, опирающиеся исключительно на факт провала традиционных программ обоснования. У нас нет абсолютных запретов на появление других более успешных программ, которые будут исходить из более адекватных представлений о природе математического мышления и об условиях его строгости. Мы должны хорошо осознавать то обстоятельство, что наше продвижение к строгому

обоснованию математики зависит от нашего понимания природы математического мышления, которое находится в процессе постоянного совершенствования.

 

Вар2

Существование математических объектов показывается только как мысленное существование. Это не объективный идеализм (ОИ), где мат.предм - умственный характер. Согласно логицизму, математический объект существует в нашем мышлении, т.к. мы мыслим.

Формальная логика - наука о формах мысли (имеет дело с формальным элементом мышления).

Два момента:
1) форма мысли отличается от созерцания.а) понятие (элементарная форма мысли - предмет в общем),б) суждение (связь больше двух понятий),в) умозаключение (связь суждений через общее понятие, результат - новое
понятие);

2) абстракция от конкретного исполнителя актов мышления (если кто-то мыслит, то мыслит так всегда, именно в таких рамках).

Логика не зависти от человечества как такового (т.е.марсиане будут мыслить аналогично). Но здесь важно, что формы мысли касаются только конечного мышления. О бесконечном мы можем только догадываться.

В истории философии существует 4 способа соотношения математики и логики:
1) математика - часть логики,
2) логика - часть, следствие математики (обр.случай),
3) математика и логика имеют некоторую общую пранауку, из которой они произошли, а потом разошлись,
4) математика и логика совершенно разные, никак не связанные.

Лейбниц: "Математика - интеллектуальное познание; принцип математики - принцип противоречия".
Пирс: "Математика - производство необходимых умозаключений".
Гуссерль: "Математика и логика - царства объективных истин".

Тезис логицизма: "математические объекты могут вводиться только на основании тезиса о непротиворечивости, т.е. математический объект может быть признан существующим, если он мыслим непротиворечивым образом.
Логика обосновывает математику; способ обоснования - дедуктивная логика."

Рассел: "Логика - юность математики, а математика - зрелость логики".

Математика может быть обоснована логикой.
Техника обоснования математики: идея редукции сведения математики и логики, т.е. представление всех мат. понятий и операций в качестве логических, и обоснование аксиом математики, как теорем логики. Не все операции или понятия должны быть связаны, а должны быть выделены основные понятия и операции и представлены логически - это аксиоматическое представление математики.

Нужно найти один функциональный раздел математики, через который можно вывести все остальные разделы. Этот раздел - арифметика. Три этапа построения математики:
1. арифметизация математики,
2. аксиоматизация арифметики,
3. логическая интерпретация аксиоматизированной арифметики.

1. Арифметизация математики (АМ).АМ не имела отношения к формальной логике. АМ означает, что можно все понятия и операции к числу, а все числа - к натуральному. Сначала рациональные числа можно свести к натуральному, а затем иррациональные можно редуцировать.

2. Аксиоматизация арифметики.Задача: натуральный ряд вывести, указав заранее правила перехода из простейших элементов всю совокупность целых чисел. 3 основных понятия: "натуральное число", "следование за…", "начальный член натурального ряда".

5 аксиом Пеано:
а) "1" есть натуральное число;б) следующее за натуральным числом есть натуральное число;
в) "1" не следует ни за каким натуральным числом;
г) если натуральное число В следует ща натуральным числом А и за натуральным числом С, то А==С (тождественны);
д) если какое-либо предложение доказано для "1", и если из допущения что оно верно для натурального числа N вытекает, что оно верно и для следующего за N натурального числа, то это предложение верно для любого натурального числа.

3. Логическая интерпретация аксиоматизированной арифметики.
Создание логического аппарата и логическая интерпретация математики в терминах логики.
Буль - создатель аппарата.

23. Реализм и номинализм как течения в методологии математики.

 

Как осуществляется связь философии и математики?

Рассмотрим такое определение множества: "Множество это то, что в философии называется универсалиями". Таким образом, онтологическая проблема статуса множества становится частным случаем проблемы универсалий, которая традиционно развивается в трех направлениях: реализм (неоплатонизм), номинализм (неономинализм), концептуализм (неоконцептуализм).

 

*Реализм представлен трудами Черча, Геделя, поздними трудами Карнапа, Гартмана.

Суть состоит в том, что абстрактные объекты математики существуют реально, в том же смысле, как и чувственное восприятие вещи.

общее существует само по себе и не завис от вещей, напр, в качестве идей

Предмет мат науки существует сам по себе независимо от нашего сознания и от единичных телесных вещей. – одна из самых ранних теорий (Платон). Похожую концепцию предлагали неоплатоники.

Математическое неизменно, не уничтожается и не возникает, есть то, что оно есть.
Предмет существует, он есть, и мы его познаем. Удобно считать, что объект существует сам по себе, свойства не зависят от познающего.
- это составляет математику. Если математическое существует само по себе и оно такое, а не иное => сомнений в математике как в науке не возникает.
Объективные идеалисты пытались доказать, что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в каком-то особом мире "идей", "идеальных объектов".

Платон рассматривая мир природных вещей лишь как проявление потустороннего, вечного и неизменного мира духовных сущностей — идей, полагал, что познание геометрических отношений достигается благодаря воспоминанию переживаний, которые наша “душа” получила в мире идей.

Т.о., ОИ отрывает идеи, понятия, возникшие в сознании людей в результате его абстрагирующей деятельности, от единичных материальных предметов, объявляет эти понятия первичными, наделяет их самостоятельным существованием в том же смысле, в каком существуют единичные предметы

*Номинализм представлен трудами Гудмана, Куайна, Генкеля. Возник как противоположность реализму, после открытия парадоксов теории множеств. В номинализме отрицается существование абстрактных общих объектов. Предметом познания могут быть только чувственно воспринимаемые вещи ("существует все что существует"). Математика должна опираться на теоремы существования.

Таким образом, чтобы признать объект существующим, можно тогда и только тогда, когда во-первых, дано описание условий, при которых математическое предложение может утверждаться без обращения к абстрактным сущностям, а во-вторых, выражения "конечное" и "бесконечное" не входят в основу
смысла.
*Концептуализм отличается от номинализма в смысле понимания общего. В номинализме утверждается существование только единичного, а про общее говорится, что это только "ярлыки". В концептуализме утверждается, что общее не является просто ярлыком, а обозначает все сходное, что есть в единичном.

 

 

 

24. Интуитивизм и конструктивизм в обосновании математики.

 

Интуиционизм - система представлений в философии математики, согласно которой существование и возможность познания математических предметов обеспечивается данностью этих предметов в созерцании.

Созерцание - это способ познавательного отношения к предмету, в котором предмет нам дан непосредственно.

 

2. Программа интуиционизма, Л. Брауэр,

Задача: редукции математики к исходным представлениям арифметики, рассматривая последние в качестве необходимых и далее неразложимых интуиции сознания.

Решение: * ограничил обычную логику математического рассуждения, изъяв из нее закон исключенного третьего и ряд других употребимых схем вывода.

*В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения, которые связывали любое утвердительное суждение об объекте с его предъявлением в качестве конструкции.

*Понятие актуального бесконечного множества полностью исключалось из математики как противоречивое по своей сущности.

*Все допустимые математические объекты, должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними.

Многие считали конструктивная математика не может содержать противоречий. вопрос о обосновании был бы решен положительно, если быв ему удалось свести большую часть мат-ки к арифметике.

Но: Сам Брауэр: основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению.

+Последователи построили интуиционистский анализ и интуиционистскую теорию множеств, Интуиционистская программа обоснования математики оказалась, несостоятельной вследствие своей узости.

Интуиционизм, претендующий на роль общематематической теории, оказал огромное воздействие на:

а) поддержание устойчивого интереса к проблеме интуиции среди математиков;

б) стимулирование серьезных философских исследований по изучению феномена интуиции; и, наконец,

в) они дали блестящие образцы получения математических результатов принципиальной значимости на интуитивной основе.

 

В математике,

* интуиция помогает постичь связь между целым и частями, Логика - в анализе. Синтез - с помощью интуиции.

* машинное моделирование вторично по отношению к интуитивной деятельности человека (синтез)

*понимание математических рассуждений и доказательств не сводится лишь к логическому анализу, а всегда дополняется синтезом, причем такой синтез, основанный на интеллектуальной интуиции, отнюдь не менее значим, чем анализ.

*Интуитивная гипотеза не следует логически из фактов, она в основном опирается на творческое воображение. *Кроме того, интуицией является и «способность видеть цель издалека».

 

 

Еще разок про вклад интуитивизма:

*Разработка математической интуиции в ее взаимосвязи с наиболее существенными методическими установками интуиционизма. Вслед за Кантом и Шопенгауэром Брауэр подчеркнул роль надлогической, аподиктической интуиции в математике. В своем обосновании математики Брауэр опирался на праксеологичеокую интуицию числа, которая ничего общего не имеет с эмпирической интуицией и обладает безусловной, предельной достоверностью[3].

*Воздействие на разработку методологических и мировоззренческих аспектов проблемы интуиции в математическом познании в целом.

*Идеи интуиционизма столь широко распространены, что к ним апеллируют при анализе воззрений видных философов. Согласно феноменологическому описанию Гуссерля, идея последовательности — центральная в понятие числа — является существенной особенностью процесса интуиции.

*Идеи интуиционизма оказали серьезное влияние на формирование методологических установок многих известных ученых.

*Брауэровское учение об интуиции вызвало к жизни попперианскую «эпистемологию без познающего субъекта», опирающуюся на концепцию «третьего мира».

*Взгляды Брауэра оказали определенное влияние и на психологические учения об интуиции.

*Интуитивистская модель сознания гуманнее и демократичнее рационалистской[2]. Рационалист обязан быть семи пядей во лбу, чтобы непрерывно удерживать в памяти всю сверхсложную последовательность рассуждений, приводящих к пониманию того или иного явления. Он обречен быть титаном мысли масштаба Аристотеля или Гегеля, иначе ему придется капитулировать и объявить во всеуслышание, что он вообще ничего не понимает в происходящем. Интуитивист же может позволить себе роскошь понимать очень многое, не отдавая себе отчета (и даже не утруждая себя каким –либо отчетом) о том, откуда, собственно говоря, взялось это его знание. Интуитивистская модель оставляет возможность каждому человеку не бог весь как развитому в рациональном плане, улавливать самое главное - хотя бы и ценой упущения некоторых частностей и обстоятельств, которые, конечно, тоже не бесполезны, однако по самому большому счету не так уж и важны[3].

*Интуитивизм гораздо толерантнее рационализма. Отдавая, естественно, приоритет интуиции, он все же не сбрасывает со счетов и рациональное стороны человеческого разума, уважительно признавая за ней необходимую и полезную функцию. Рационализм же абсолютно нетерпим к своим конкурентам, он претендует на полное единовластие. Иррациональную сторону человеческой души рационалисты считают предосудительным рудиментом нашей психике, доставшимся нам наследство от узколобых динозавров, и настаивают на том, что эта иррациональная компонента в исторической перспективе должна быть полностью вытеснена рациональной.

 

 

25. Роль и характер обоснования и доказательства в математике.

 

Сам Арнольд, дабы избежать упреков со стороны нематематиков в

том, что математика искусственно отгораживается от других наук,

имеющих дело с реальным, окружающим нас миром, предлагает

рассматривать ее как часть теоретической физики: «...доказательства всегда играли

в математике совершенно подчиненную роль, примерно такую, как

орфография или даже каллиграфия в поэзии. Математика, как и физика, —

экспериментальная наука, и сознательное сложение дробей */2 и V3 —

стандартный элемент общечеловеческой культуры»2.

 

В математике доказа́тельством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

Содержание 1 Формальное доказательство 2 Исторический очерк 3 Что и требовалось доказать 4 Литература 5 Примечания 6 См. также 7 Ссылки

Формальными доказательствами занимается специальная ветвь математики — теория доказательств. Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, поскольку для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают очень много места. Обычно доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее, все эти средства используются учёными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах. Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчёте на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).

Ошибочным доказательством называется текст, содержащий логические ошибки, то есть такой, по которому нельзя восстановить формальное доказательство. В истории математики были случаи, когда выдающиеся учёные публиковали неверные «доказательства», однако обычно их коллеги или они сами довольно быстро находили ошибки (одна из наиболее часто неправильно доказывавшихся теорем — Великая теорема Ферма. До сих пор встречаются люди, не знающие о том, что она доказана, и предлагающие новые неверные «доказательства»^[1][2]). Ошибочным может быть только признание доказательством «доказательства» на естественном или формальном языке; формальное доказательство ошибочным не может быть по определению.

В математике существуют нерешённые проблемы, решение которых учёным очень хотелось бы найти. Некоторые из них можно найти в статье «Гипотеза». За доказательства особенно интересных и важных утверждений математические общества назначают премии.^{[ источник не указан 1098 дней ]}

В информатике математические доказательства используются для верификации и анализа правильности алгоритмов и программ. см. логика в информатике} в рамках технологий доказательного программирования.

Формальное доказательство

Когда говорят о формальном доказательстве, прежде всего описывают формальную модель — множество аксиом, записанных с помощью формального языка, и правил вывода. Формальным выводом называется конечное упорядоченное множество строк, написанных на формальном языке, таких, что каждая из них либо является аксиомой, либо получена из предыдущих строк применением одного из правил вывода. Формальным доказательством утверждения называется формальный вывод, последней строкой которого является данное утверждение. Утверждение, имеющее формальное доказательство, называется теоремой, а множество всех теорем в данной формальной модели (рассматриваемое вместе с алфавитом формального языка, множествами аксиом и правил вывода) называется формальной теорией.

Теория называется полной, если для любого утверждения доказуемо оно или его отрицание, и непротиворечивой, если в ней не существует утверждений, которые можно доказать вместе с их отрицаниями (или, эквивалентно, если в ней существует хотя бы одно недоказуемое утверждение). Большинство «достаточно богатых» математических теорий, как показывает первая теорема Гёделя о неполноте, являются неполными либо противоречивыми. Самым распространённым набором аксиом в наше время является аксиоматика Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (хотя некоторые математики выступают против использования последней). Теория на основе этой системы аксиом не полна (например, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в ней — в предположении, что эта теория непротиворечива). Несмотря на повсеместное использование этой теории в математике, её непротиворечивость не может быть доказана методами её самой. Тем не менее, подавляющее большинство математиков верит в её непротиворечивость, считая, что в противном случае противоречия уже давно были бы обнаружены.

Исторический очерк

В странах Древнего Востока (Вавилоне и Древнем Египте) решение математических задач приводилось без обоснования и было догматичным. Понятия доказательства не существовало и в Древней Греции в VIII—VII веках до н. э. Однако уже в VI веке до н. э. в Греции логическое доказательство становится основным методом установления истины. В это время были построены первые математические теории и математические модели мира, которые имели вполне современный вид, то есть строились из конечного числа посылок с помощью логических умозаключений. По словам Аристотеля, доказательство выявляет сущность вещей^[3].

Первые доказательства использовали простейшие логические построения. В частности Фалес Милетский, доказавший что диаметр делит круг пополам, углы при основании равнобедренного треугольника равны, две пересекающиеся прямые образуют равные углы, видимо, использовал в своих доказательствах методы перегибания и наложения фигур. По словам греческого философа Прокла (V век н. э.) «Иногда он рассматривал вопрос несколько общо, иногда опираясь на наглядность». Уже при Пифагоре доказательство переходит от конкретных представлений к чисто логическим заключениям^[4]. Известно, что доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, которое является основой понятия иррациональности, скорее всего принадлежит пифагорейцам, хотя впервые приведено в Началах Евклида (X), происходит от противного и основано на теории делимости чисел на два^[5]. Возможно, что расхождение во взглядах на роль математического доказательство явилось одной из причин конфликта между Евдоксом и Платоном^[6].

 

 

 

26. Позитивизм в философии математики. Критика позитивистской методологии В. Вундтом.

 

Позитивизм — философское учение и направление в методологии науки, определяющее единст­венным источником истинного, действительного знания эмпирические исследования и отрицающее познавательную ценность философского исследования.