Примеры решения типовых задач по разделу

следовательно, обратная матрица существует. Для матрицы третьего порядка формула вычисления обратной матрицы принимает вид:

.

Найдем алгебраические дополнения матрицы :

,

, ,

Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и определителя матрицы в формулу, получаем

.

Сделаем проверку:

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Задача 3. Решить матричное уравнение.

.

Решение. Введем следующие обозначения: Если матрица имеет обратную , то решение уравнения находится в виде .

Вычислим определитель матрицы: следовательно, обратная матрица существует и находится по формуле Найдем алгебраические дополнения :

Следовательно,

Таким образом, решение матричного уравнения

Замечание. Если матричное уравнение имеет вид , то его решением служит матрица .

Задача 4. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Решение. Выберем минор второго порядка . Существует только один минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор . Вычислим его.

Значит, минор базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е.

Задача 5. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований

Решение. Поменяем местами первую и вторую строку. В результате получим матрицу, эквивалентную данной.

На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2 , к третьей строке прибавим первую , а из четвертой вычтем первую, умноженную на 3 Получаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим ее той же буквой :

.

Далее, вычтем из четвертой строки вторую. При этом имеем:

.

Получена матрица треугольного (ступенчатого) вида, и можно сделать вывод, что , т. е. числу ненулевых ее строк.

Задача 6. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Воспользуемся методом Крамера. Вычислим определитель матрицы системы:

Значит, система имеет единственное решение. Найдем определители

Определитель получается из определителя заменой 1-го столбца столбцом свободных членов.

Определитель получается из определителя заменой 2-го столбца столбцом свободных членов.

Заменим в определителе 3-ий столбец столбцом свободных членов и вычислим

Решение системы находим по формулам:

Ответ. (2; 1;1).

Задача 7. Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность:

Решение. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы:

Для того чтобы в первом столбце матрицы получить нули, выполним следующие преобразования: из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а от третьей вычтем первую. Получим матрицу, равносильную данной:

Чтобы получить матрицу треугольного вида, необходимо вычесть из третьей строки вторую. Окончательно получаем:

Ранг расширенной матрицы системы равен 3, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. , следовательно, система несовместна.

Задача 7.1. Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность:

Решение. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы:

Будем приводить матрицу к треугольному виду, для этого выполним следующие преобразования: первая строка будет ведущей, а от второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а из третьей вычтем первую, умноженную на 3. Получим равносильную систему:

Умножим вторую строку на , третью на При этом получим матрицу

Вычтем из третьей строки вторую и получим матрицу ступенчатого вида.

Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, т.е. , следовательно, система совместна. Сравним ранг матрицы с числом неизвестных системы: . Согласно теореме о числе решений система имеет бесконечное множество решений. Найдем их.

Из последней строки матрицы треугольного вида имеем , третьей строке соответствует уравнение . Зная , получаем Первой строке матрицы соответствует уравнение: Подставляя в это уравнение , получим уравнение Пусть , тогда .

Ответ: , где произвольная постоянная.

Аналитическая геометрия

Задача 1.

1. Найти периметр треугольника АВС, если

А (1;3;6), В (2;2;1), С (-1;0;1).

2. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А (-4;2;6), В (2;-6;0), С (-10;4;8).

3. Пусть АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.

Найти периметр треугольника КМN, если

А (7;2;4), В (7;-4;-2), С (3;2;4).

4. Найти периметр ромба со стороной АВ, если А (-4;6;-3), В (-5;2;-4).

5. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если

А (-4;2;1), В (3;6;-5).

6. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А (2;1;4), В (-1;5;-2).

7. Найти длины всех средних линий треугольника АВС, если

А (-1;5;-2), В (-7;-3;2), С (-5;-3;6).

8. Найти периметр четырёхугольника АВСD, если

А (-1;-5;2), В (-6;0;-3), С (3;6;-3), D (-10;6;7).

9. Найти площадь круга с радиусом АВ и длину его границы, если

А (0;-1;-1), В (-2;3;5).

10. Найти объём и площадь поверхности шара с радиусом АВ, если

А (5;2;0), В (2;5;0).

11. Найти периметр треугольника АВС, если

А (1;2;4), В (-1;1;1), С (2;5;0).

12. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А (3;-4;-3), В (1;2;1), С (5;0;-7).

13. АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.

Найти периметр треугольника КМN, если

А (-10;9;-7), В (-2;1;-3), С (-6;7;1).

14. Найти периметр ромба со стороной АВ, если

А (4;-8;-4), В (1;-4;6).

15. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если

А (14;4;5), В (-5;-3;2).

16. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А (-2;-6;-3), В (-2;2;-1).

17. Найти длины всех средних линий треугольника АВС, если

А (1;2;0), В (3;0;-2), С (5;2;6).

18. Найти периметр четырёхугольника АВСD, если

А (8;4;-9), В (2;-1;2), С (1;2;-1), D (3;2;1).

19. Найти площадь круга с радиусом АВ и длину его границы, если

А (-4;2;5), В (1;1;2).

20. Найти объём и площадь поверхности шара с радиусом АВ, если

А (-1;1;3), В (2;-2;4).

21. Найти периметр треугольника АВС, если

А (-1;0;-2), В (2;3;1), С (4;1;-2).

22. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А (3;3;7), В (7;5;-3), С (1;1;-1).

23. Пусть АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.

Найти периметр треугольника КМN, если

А (1;3;1), В (3;5;1), С (5;9;-7).

24. Найти периметр ромба со стороной АВ, если

А (1;5;-7), В (-3;6;3).

25. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если

А (-2;7;3), В (-3;4;-7).

26. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А (1;5;-4), В (-5;-2;0).

27. Найти периметр треугольника АВС, если

А (-2;1;-5), В (0;4;1), С (-2;1;2).

28. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А (1;3;5), В (1;2;-3), С (7;1;-1).

29. Найти периметр ромба со стороной АВ, если

А (-1;2;-6), В (-4;5;-5).

30. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А (2;3;-4), В (-2;-3;1).

Задача 2. Коллинеарны ли векторы и ?

1. , , если , .

2. , , если , .

3. , , если , .

4. , , если , .

5. , , если , .

6. , , если , .

7. , , если , .

8. , , если , .

9. , , если , .

10. , , если , .

11. , , если , .

12. , , если , .

13. , , если , .

14. , , если , .

15. , , если , .

16. , , если , .

17. , , если , .

18. , , если , .

19. , , если , .

20. , , если , .

21. , , если , .

22. , , если , .

23. , , если , .

24. , , если , .

25. , , если , .

26. , , если , .

27. , , если , .

28. , , если , .

29. , , если , .

30. , , если , .

Задача 3. Найти скалярное произведение векторов:

1. , если , .

2. , если , .

3. , если , .

4. , если , .

5. , если , .

6. , если , .

7. , если , .

8. , если , .

9. , если , .

10. , если , .

11. , если , .

12. , если , .

13. , если , .

14. , если , .

15. , если , .

16. , если , .

17. , если , .

18. , если , .

19. , если , .

20. , если , .

21. , если , .

22. , если , .

23. , если , .

24. , если , .

25. , если , .

26. , если , .

27. , если , .

28. , если , .

29. , если , .

30. , если , .

Задача 4. Найти косинус угла между векторами и

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

---

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==> Отладка блочной структуры программы | Сегмент 1.3. Функция SUMMA1

Поделиться с друзьями:

---

Дата добавления: 2016-10-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 263 | Нарушение авторских прав

---

Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Два самых важных дня в твоей жизни: день, когда ты появился на свет, и день, когда понял, зачем. © Марк Твен
==> читать все изречения...

1636 - | 1481 -

© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление