Классическое определение вероятности

21.02.2012

Будем говорить, что событие А влечёт событие В, если всякий раз когда наступает событие А наступает и событие В.

Два события А и называются противоположными или взаимнодополнительными,если непоявление одного из них в результате данного испытания влечёт появление другого. События А и всегда несовместны.

Событие А называетсяблагоприятствующим событию В, если появление события А влечёт появление события В.

Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые 2 несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.

События называются равновозможными, если по условию испытания нет основания считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

 

Операция над событиями

Введём понятие суммы, произведения и разности событий. Суммой или объединением двух событий А+В (АU В) называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания, то есть произойдёт либо событие А, либо событие В, либо А и В одновременно.

- Если события А и В совместны, то их сумма А+В обозначает наступление или события А или события В, или обоих событий вместе.

- Если А и В несовместные события, то их сумма А+В обозначает наступление или события А или события В.

Произведением или пересечением двух событий А и В, А*В (А∩В) называется событие, состоящее в совместном наступлении и события А и события В.

- Если А, В, С совместные события, то их произведение А*В*С означает наступление и события А, и события В, и события С.

Произведение несовместных событий невозможно.

Разностью (А-В) двух событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдёт, а событие В не произойдёт.

Всё пространство элементарных событий Ω соответствует достоверному событию, а пустое множество недостоверно событию, так как не создаёт ни одного элемента. Справедливы следующие соотношения:

Пример: бросают две игральные кости, пусть событие А состоит в том, что сумма выпавших очков чётная, а событие В заключается в том, что хотя бы на одной из костей выпало 3. В чём состоит события АU В и А∩В?

А U В состоят в наступлении, либо сумма выпавших очков чётная, либо на одной из костей выпало 3.

А U В = А + {(2;3);(3;2);(3;4);(3;6);(4;3);(6;3)}

А∩ В состоят в том, что сумма выпавших очков чётная и на грани одной из костей обязательно выпало 3.

А ∩ В = {(1;3);(3;1);(3;3);(3;5);(5;3)}

21.02.2012

События А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу, если они несовместны и в сумме образуют всё пространство элементарных событий Ω, то есть Это означает, что в результате эксперимента обязательно произойдёт одно из данных событий и только одно.

 

Классическое определение вероятности

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Численная мера объективной возможности появления события называется вероятностью события. По определению событию можно поставить соответствие определение числа его вероятностей. Однако приведённое определение не даёт формулу для нахождения вероятности. Пусть проводимый опыт, в результате которого могут наступить те или иные события, если эти события образуют полную группу попарно несовместных, равновозможных событий, то говорят, что опыт сводится в схеме случаев. Здесь случаем называется каждое из событий принадлежащих выделенной полной группе. Для опытов, которые сводятся к схеме случаев, применима классическая формула вероятности. Пусть имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий – вероятность Р (А). Наступление события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующие наступлению событий к числу всех исходов испытания. Исход называется благоприятствующим событию А, если появление этого исхода влечёт за собой появление события А. Если n число всех исходов испытания, а m число исходов благоприятствующих событию А, то вероятность Р(А)= m /n. Из определения вероятности вытекает следующие её свойства:

1) вероятность достоверного события равна 1. Действительно, если событие А достоверно, то любой исход испытания благоприятствует этому событию, то тогда m=n, следовательно, P(A) = m/n = n/n = 1

2) вероятность невозможного события равна 0. Действительно, если событие А невозможное, то не один из исходов испытания неблагоприятственен событию А, следовательно, m=0, то тогда вероятность события P(A) = 0 / n = 0

3) вероятность любого случайного события А удовлетворяет условию: 0 ≤ Р(А) ≤ 1. Действительно число исходов благоприятственных наступлению событий либо = 0, либо = n, либо по определению вероятности является частью всех n исходов испытания, тогда:

0 ≤ m ≤ n

0 ≤ m/n ≤ 1

0 ≤ P(A) ≤ 1

Вероятность в деферентом пространстве вводится следующим образом: поставим каждому элементарному исходу w_i в соответствие неотрицательное число (Р_i ≥ 0) называемое его вероятностью, такое, что сумма вероятностей всех элементарных исходов:

Вероятностью события А называют сумму вероятностей всех элементарных исходов, входящих в событие А, то есть . Из этого определения следует, что всегда выпадает неравенство: 0 ≤ P(A) ≤ 1 и кроме того Р(Ω)=f, где Ω - пространство элементарных событий n Р(Ø)=0.