Додавання коливань, биття, фігури Лісажу

Додамо гармонічні коливання однакового напряму і однакової частоти:

, .

Для цього зобразимо гармонічне коливання графічно методом обертового вектора амплітуди або методом вектороної діаграми.

З точки 0, вибрані на вісі Х, під кутами (початкова фаза першого коливання) і (початкова фаза другого коливання) відкладаємо модуль амплітуд і (Рис.1).

При обертанні векторів амплітуд навколо точки 0 з кутовою швидкістю , проекції векторів будуть переміщуватись по вісі Х в межах числових значень амплітуд, змінюючись згідно з гармонічним законом.

Очевидно, що рівняння результуючого коливання буде рівнянн гармонічного коливання тієї ж частоти і того ж напрямку.

- теорема косинусів

Відповідно малюнку

; .

В результаті додавання одержуємо коливання з періодично змінюваного (пульсуючого) амплітудою – биття (рис.2).

Нехай і ; .

Тоді ; ;

Знайдемо рівняння результуючого коливання аналітичним методом:

Результуюче коливання майже гармонічне з частотою і повільно гармонічне з частотою, що змінюється:

.Пунктирна лінія на рис.2 графічно це зображує. Суцільна лінія – графік результуючого коливання.

Частота змінювання модуля косинуса - частота биття, або . Період биття .

 

 

ДОДАВАННЯ ВЗАЄМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ КОЛИВАНЬ

Розглянемо випадок, коли коливальна система бере участь в 2-х взаємно перпендикулярних коливанняхз (промінь осцилографа при подачі гармонічної напруги на вертикальні і горизонтальні платівки).

Нехай ; ; .

Рівняння траекторії результуючого коливання знаходиться шляхом виключення параметра t.

 

Розглянемо випадки:

1) , тоді рівняння набуває вигляд

, якщо А=В, то

2)

3)

 

4) , то результуюче коливання відбувається по складній траекторії, форма якої залежить від різниці фаз і співвідношення частот.

Якщо провести дотичні до траекторії, паралельні вісям, то відношення чисел дотиків обернено пропорційне частотам коливань, що додаються.

 

 

Методом фігур Ліссажу визначають невідому частоту.

де A, B — амплітуди коливань, a, b — частоти, δ — зсув фаз.

Вигляд кривої сильно залежить від співвідношення a / b. Коли співвідношення дорівнює 1, фігура Ліссажу має вигляд еліпсу, за певних умов вона має вигляд кола (A = B, δ = π/2 радіан) і лінії (δ = 0). Інший приклад фігури Ліссажу — парабола (a / b = 2, δ = π/2). Інші співвідношення продукують більш складні фігури, які є замкненими за умови a / b — раціональне число. Припускається, що візуальна форма цих кривих є часто тривимірним вузлом, і насправді, проекції на площину багатьох вузлів, включаючи вузли Ліссажу, є фігурами Ліссажу. Фігури Ліссажу, де a = 1, b = N (N — натуральне число) і є поліномами Чебишева першого роду степеня N.