Плоская электромагнитная волна в диэлектрике. Скорость распространения электромагнитной волны

 

При исследовании процессов в переменном электромагнитном поле пользуются полной системой уравнений Максвелла.

Здесь - плотность тока переноса

,

где r₊ и r_- - объемная плотность положительно заряженных частиц и отрицательно заряженных частиц, перемещающихся в пространстве со скоростью соответственно.

Для плоской, поляризованной электромагнитной волны, излучаемой источниками, не содержащими постоянных токов и зарядов (антенна), и распространяющейся в идеальном диэлектрике (g=0), уравнения электромагнитного поля можно преобразовать к следующему виду:

(4.1)

 

(4.2)

 

Отметим, что электромагнитная волна называется плоской, когда векторы зависят только от одной координаты, например z.

Поляризованной называется такая волна, в которой вектор напряженности электрического поля все время остается параллельным некоторому направлению (например, как в нашем случае, оси ох), а вектор напряженности магнитного поля – другому (оси оy).

Такие условия обеспечиваются при излучении электромагнитных волн неподвижной антенной на достаточно большом расстоянии от нее.

Таким образом, в электромагнитной волне, свободно распространяющейся в однородном и изотропном диэлектрике, векторы взаимно перпендикулярны ().

Уравнения (4.1) и (4.2) можно преобразовать к следующему виду:

, (4.3)

где имеет размерность скорости.

Уравнение (4.3) является уравнением колебаний или волновым уравнением и относится к гиперболическому типу.

Как известно, решение такого уравнения всегда можно представить в виде:

. (4.4)

При этом составляющая Е_х1 называется прямо бегущей или прямой волной (перемещается в положительную сторону оси oz со скоростью u), а составляющая Е_х2 – обратно бегущей или обратной волной (перемещается в отрицательную сторону оси oz со скоростью u).

Используя выражения (4.1), (4.2) и (4.4) получаем формулу для напряженности магнитного поля

Составляющие Н_х1 и Н_х2 также называют прямой и обратной волной.

Таким образом, электромагнитная волна распространяется в пространстве со скоростью u (в прямом или в обратном направлении).

В частности, в пустоте (m=m₀, e=e₀) эта скорость равна скорости света (u=2.998×10⁸м/с»3×10⁸м/с).

Если существует только прямая или только обратная волна, то энергии электрического и магнитного полей равны между собой, так как при этом равны их объемные плотности

.

Отношение Е_х1/Н_у1=Ö`m¤e=Z_в имеет размерность электрического сопротивления и называется волновым сопротивлением среды.

В частности, для пустоты Z_в=377Ом (Z_в =120p).

Таким образом, для любой среды

.

В случае, если прямая электромагнитная волна распространяется в среде, абсолютное значение магнитной проницаемости которой m=m₁, а абсолютное значение диэлектрической проницаемости e=e₁, и подходит нормально (перпендикулярно) к плоской границе, разделяющей данную среду и среду с m=m₂ и e=e₂, то прямая волна (Е_х1=Е_j1, Н_х1=Н_j1) частично будет проходить сквозь поверхность раздела, образуя во второй среде преломленную (прямую) волну (Е_j2, Н_j2), а частично будет отражаться от поверхности раздела, образуя в первой среде отраженную (обратную) волну (Е_х2=Е_y1, Н_х2=Н_y1).

Соотношение между напряженностями поля для этих волн на поверхности раздела можно представить следующим образом:

где -соответствующие волновые сопротивления первой и второй среды.

Если волновые сопротивления сред равны между собой (Z_в1= Z_в2), то отраженные волны отсутствуют.

В случае, когда источник (антенна) излучает электромагнитную волну, в которой напряженность электрического и магнитного поля изменяется по гармоническому закону, то для прямой волны

Здесь y_н- начальная фаза; w - угловая частота колебаний (w=2pf).

Расстояние, на которое распространяется электромагнитная волна в течение одного периода колебаний Т (Т=1/f), называется длиной волны

l = uТ = u/f.

Из данного выражения видно, что длина волны в диэлектрике обратно пропорциональна частоте f. Так, при частоте f=1 МГц длина волны в пустоте равна 300 м, а при f=50Гц l=6000 км.

 

Вектор Пойнтинга

 

Для анализа электромагнитных полей, широко используют вектор Пойнтинга . Этот вектор имеет размерность мощности (энергии в единицу времени), передаваемой сквозь единицу поверхности, нормальной к направлению распространения волны, и определяется следующим соотношением:

(4.5)

В теории электромагнитного поля довольно большое значение имеет теорема Умова-Пойнтинга, которая описывает энергетические соотношения в поле

(4.6)

Левая часть данного выражения представляет поток вектора Пойнтинга (направленный внутрь объема V) сквозь любую замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем V. Часто уравнение (4.6) записывают и в таком виде

(4.7)

Здесь W_Э и W_М – энергия соответственно электрического и магнитного поля, заключенных в объеме V.

В более общем случае, внутри объема V могут существовать источники электромагнитной энергии, в которых совершается преобразование энергии какого-либо вида или механической работы в электромагнитную энергию. Обозначив через р_е мощность этих источников, получим

(4.8)