Решение игр размерности 2´2 и 2´n в смешанных стратегиях

5.1. Игра размерности 2´2. Рассмотрим произвольную матричную игру со следующей платёжной матрицей размерности 2´2 общего вида:

Q = . (18)

Для поиска решений в смешанных стратегиях в данной игре рассматриваются два взаимоиск-лючающих случая.

Случай 1. У игры есть решение в чистых стратегиях. Тогда в силу утверждения 7 это же самое решение (представленное в виде пары смешанных стратегий, как в примере 6) является решением игры в смешанных стратегиях. На этом поиск решений в смешанных стратегиях за-кончен.

Прежде чем перейти к случаю 2 - отсутствию решения в чистых стратегиях - сформули-руем некоторые простые, но нужные для дальнейшего утверждения.

Утверждение 8. Пусть в матрице (18) есть доминируемые или дублирующие строки или столбцы. Тогда в матричной игре с этой платёжной матрицей есть решение в чистых стратегиях ■

Заметим, что условие утверждения 8 является достаточным, но не необходимым. В игре с матрицей Q = есть решение в чистых стратегиях, а доминируемых или дублирующих строк и столбцов нет.

Утверждение 9. Пусть в матрице (18) совпадают элементы одного столбца или одной строки. Тогда в матричной игре с этой платёжной матрицей есть решение в чистых стратегиях ■

Напомним определение функции sgn(x):

sgn(x) =

Утверждение 10. Пусть в матрице (18)

sgn(q ₁₁- q ₂₁) = -sgn(q ₂₂- q ₁₂) (19a)

или

sgn(q ₁₁- q ₁₂) = -sgn(q ₂₂- q ₂₁). (19b)

Тогда в матричной игре с этой платёжной матрицей есть решение в чистых стратегиях ■

Случай 2. У игры нет решения в чистых стратегиях. Рассмотрим выражение (9) для выиг-рыша игрока А в игре размерности 2´2:

g (x, y) = x ₁· y ₁· q ₁₁ + x ₁· y ₂· q ₁₂ + x ₂· y ₁· q ₂₁ + x ₂· y ₂· q ₂₂. (20)

Учитывая, что x ₁ + x₂ = 1, y ₁ + y₂ = 1, положим x = x ₁, y = y ₁ и отождествим стратегии игроков с однозначно определяющими их вероятностями x и y. Представим (20) (после простых преобра-зований) в следующем виде:

g (x, y) = mx + n, (21a)

где

m = (q ₁₁– q ₁₂– q ₂₁+ q ₂₂)· y +(q ₁₂ – q ₂₂), (22a)

n = (q ₂₁– q ₂₂)· y + q ₂₂. (23a)

Выражение (20) является, в соответствии с определениями, проигрышем игрока В в той же са-мой игре. Представим (20) в виде, аналогичном (21a):

g (x, y) = sy + t, (21b)

где

s = (q ₁₁– q ₁₂– q ₂₁+ q ₂₂)· x +(q ₂₁ – q ₂₂), (22b)

t = (q ₁₂– q ₂₂)· x + q ₂₂. (23b)

Положим

q ₁ = q ₁₁ – q ₁₂ – q ₂₁ + q ₂₂, (24)

q ₂ = q ₂₂– q ₁₂, (25)

q ₃ = q ₂₂– q ₂₁. (26)

Имеетместо

Утверждение 11. Пусть в игре с платёжной матрицей (18) нет решений в чистых страте-гиях. Тогда

1) q ₁ ≠ 0, q ₂ ≠ 0, q ₃ ≠ 0; (27)

2) sgn(q ₂) = sgn(q ₃); (28)

3) 0 < q ₂ ¤ q ₁< 1, 0 < q ₃ ¤ q ₁< 1 ■ (29)

Все три части утверждения 11 являются следствиями утверждений 8 – 10. В частности, вторые неравенства в формулах (29) следуют из того, что q ₁ = q ₁₁ – q ₂₁+ q ₂ = q ₁₁ – q ₁₂ + q ₃ и утверждения 10.

Перейдём к явному построению решения игры в смешанных стратегиях. Начнём с игрока А. Для любой стратегии y игрока В положим

j _А(y) = { x | () (g _A(x', y) ≤ g _A(x, y))}. (30a)

Другими сдовами, j _A(y) – это множество всех стратегий x игрока А, которые максимизирует его выигрыш g _A(x, y) при данном y.

Положим

Φ _A = {(x, y) | y Î[0, 1], x Î j _A(y)}. (31a)

Множество Φ _A назовём графиком игрока А (см. общее определение графика в гл. 1.3)

Поскольку при любом фиксированном y функция (21а) линейна по x, и при этом 0 ≤ x ≤ 1, то максимум достигается при m ≠ 0 на концах отрезка [0, 1] (т.е. при одной из двух чистых страте-гий), а при m = 0 – при всех стратегиях, поскольку в этом случае g (x, y) просто не зависит от x. Представим эти рассуждения геометрически, нарисовав график Φ _A игрока А. Из (22а) и (23а) следует, что

g (x, 0) = – x · q ₂ + q ₂₂.

Поэтому

j (0) = . (32a)

Далее, представим (22а) с учётом обозначений (24) – (26) как

m = q ₁· y – q ₂.

Будем увеличивать y от 0 до 1. В силу 3-ей части утверждения 11 q ₁ и q ₂ имеют одинаковые знаки. Поэтому при y = y * = q ₂ ¤ q ₁ число m = 0, g (x, y *) от x не зависит и, следовательно, мно-жеством j _А(y *) является отрезок [0, 1]. Далее, при y > y * число m меняет знак на противопо-ложный. Поэтому, если j (0) = {0}, то j (1) = {1}; если же j (0) = {1}, то j (1) = {0}. Оба случая (при и при ) представлены на рис.1.

Рис.1

Теперь перейдём к игроку В. Для любой стратегии x игрока А положим

y _B(x) = { y | () (g _B(x, y) ≤ g _B(x, y ))}. (30b)

Другими сдовами, y _B(x) – это множество всех стратегий y игрока B, которые минимизируют его выигрыш g _B(x, y) при данном x.

Определим график игрока В формулой, аналогичной формуле (31а):

Y _В = {(x, y) | x Î[0, 1], y Î y _B(x)}. (31b)

Далее практически повторим все рассуждения относительно графика Φ _A применительно к гра-фику Y _В (учитывая минимизацию, а не максимизацию). В частности, получим

y (0) = (32b)

(различие (32a) и (32b) определяется минимизацией вместо максимизации).

Как и выше, положим x * = q ₃ ¤ q ₁. При x = x * коэффициент s при y в (21b) обращается в 0, так что минимум достигается при любом y от 0 до 1; в этой точке знак s меняется и, соответствен-но, y (x) меняет значение с {0} на {1} или наоборот. Оба случая представлены на рис.2 в тех же координатах, что и на рис.1.

В силу формулы (28), q ₂< 0 тогда и только тогда, когда q ₃< 0. Поэтому при изображении обоих графиков в одних и тех же координатах имеется два случая: q ₂< 0, q ₃< 0 и q ₂> 0, q ₃> 0. Других вариантов не может быть. Эти графики показаны на рис. 3. Из формулы (29) следует, что q ₁ имеет тот же знак, что q ₂ и q ₃. Поэтому левой и правой части рис.3 соответствуют q ₁< 0 и q ₁> 0.

Суть дела состоит в том, что найденные смешанные стратегии x * и y * образуют решение исходной матричной игры с платёжной матрицей (18), не имеющей решений в чистых стратеги-ях. Действительно, по построению j _А(y) (см. формулу (30a)) для любого y и для любого x' j _А(y) выполняется условие

( x) g (x, y) ≤ g (x', y). (33a)

В частности, (33a) верно при y = y * и x' = x *, так как при y = y * x' можно выбрать произвольно. Поэтому из (33a) следует, что для любого x

g (x, y *) ≤ g (x *, y *). (34a)

Аналогично, по построению y _B(x) для любого x и для любого y' = y (x) выполняется условие

() g (x, y') ≤ g (x, y). (33b)

В частности, (33b) верно при y' = y * и x = x *, так как при x = x * y' можно выбрать произвольно.

Рис.2

Рис.3

Поэтому из (33b) следует, что для любого y

g (x *, y *) ≤ g (x *, y). (34b)

Неравенства (34a) и (34b) вместе совпадают с двойным неравенством (12), т.е. пара стратегий á x *, y *ñ по определению является решением игры в смешанных стратегиях.

Если «принять на веру» утверждения 8 - 11 (доказательства которых достаточно просты), то вместе с предыдущими рассуждениями они доказывают существование решения в смешан-ных стратегиях любой игры размерности 2´2 для произвольной платёжной матрицы (18). Ко-нечно, этот факт сам по себе непосредственно следует из общего утверждения 6. Однако оно является типичной «теоремой существования», не объясняющей, как находить само решение.

Для игр размерности 2´2 ситуация другая. Числа x * и y * определены в явном виде:

x * = q ₃ ¤ q ₁, y * = q ₂ ¤ q ₁,

где числа q ₁, q ₂и q ₃выражаются через элементы исходной платёжной матрицы (18) по форму-лам (24) - (26). Переходя обратно от задания смешанной стратегии одним числом (вероятнос-

тью выбора 1-ой стратегии) к её заданию парами чисел (см. текст послеформулы (20)), оконча-

тельно получаем

= , = 1- , x * = (, ); (35a)

= , = 1- , y * = (, ). (35b)

При взгляде на формулы (35) возникает вопрос – что делать, если входящий в них делитель (24) окажется равным 0? Ведь на 0 делить нельзя! При этом число q ₁, определяемое формулой (24), действительно может быть равным 0 – например, в платёжной матрице . Однако для платёжных матриц без седловой точки (а только такие матрицы здесь и рассматри-ваются) выражение (24) не равно 0 (см. 1-ую часть утверждения 11). Так что на 0 делить не придётся.

Таким образом, полностью решена задача нахождения решения матричной игры размер-ности 2´2 для произвольной платёжной матрицы (18). Если у игры есть решение в чистых стра-тегиях, то оно и является искомым решением. В том и только том случае, если такого решения нет, можно найти решение в смешанных стратегиях по формулам (35).

Пример 7. Рассмотрим матричную игру двух лиц со следующей платёжной матрицей: Q = . Найдём её решение. Поскольку у данной игры нет решения в чистых стратегиях, то воспользуемся формулами (35), положив q ₁₁ = 6, q ₁₂ = 2, q ₂₁ = 5, q ₂₂ = 8. Получим

= = = ; = = = ;

= 1- = 1 - = ; = 1- = 1 - = ; x * = (, ); y * = (, ) ■

Задание 3. Найти решения в следующих матричных играх (см. пример 7)

■

5.2. Игра размерности 2´ n. Рассмотрим произвольную матричную игру со следующей платёжной матрицей размерности 2´ n общего вида:

Q = . (36)

Оказывается, что для игр с платёжной матрицей вида (36) решение может быть найдено графо-аналитическим методом. Для простоты решение излагается для n = 4 в следующих двух примерах.

Пример 8. Найдём решение и цену игры с платёжной матрицей Q = . Преж-де всего проверим наличие (или отсутствие) решения в чистых стратегиях. В данном случае

max _i min _jq_ij =max{2, 4} = 4; min _j max _iq_ij = min{4, 8, 6, 6} = 4.

Так как max _i min _jq_ij = min _j max _iq_ij = q ₂₁, то пара чистых стратегий á2, 1ñ является решением дан-ной игры. Как и в примере 6, представим эти чистые стратегии как смешанные: x = (0, 1); y = (1, 0, 0, 0). Ценой игры является общее значение максимина и минимакса, равное q ₂₁ = 4 ■

Пример 9. Найти решение и цену игры с платёжной матрицей Q = . В этом случаета же самаяпроверка даёт

max _i min _jq_ij = max{3, 4} = 4; min _j max _iq_ij = min{6, 8, 6, 6} = 6.

Поскольку в данном случае max _i min _jq_ij <min _j max _iq_ij, то решений в чистых стратегиях нет.

Поэтому можно и нужно искать решение игры в смешанных стратегиях описанным ниже гра-фо-аналитическим методом.

Игрок A имеет только 2 чистых стратегии. Его задача состоит в максимизации своего выигрыша в зависимости от своей смешанной стратегии (x ₁, x ₂)

v (x ₁, x₂) = (q _{1 j} x ₁ + q _{2 j} x ₂), (37)

где минимум берётся по 4-ём чистым стратегиям игрока B.

Так как x ₂ = 1 - x ₁, то, обозначая x ₁ через x, из (40) получаем выражение

v (x) = {(q _{1 j} - q _{2 j}) x + q _{2 j} }. (38)

Таким образом, v (x) является минимумом четырёх линейных функций одной переменной x; можно начертить графики этих функций и затем максимизировать их минимум v (x) графичес-ким методом.

Нетрудно построить графики функций (q _{1 j} - q _{2 j}) x + q _{2 j}, если заметить, что они должны проходить через точки (0, q _{2 j}) и (1, q _{1 j}). Эти графики изображены на рис.4. В данном случае имеем четыре прямых линии, нижняя огибающая которых v (x) выделена жирным. Высшая точ-ка функции v (x) находится на пересечении прямых y = 2 x + 4 и y = -3 x + 6, соответствующих 3-му и 4-му столбцам матрицы Q (напомним, что j -ая прямая по построению проходит через точ-ки (0, q _{2 j}) и (1, q _{1 j})). Поскольку в данном случае ломаная v (x) состоит только из двух звеньев, со-единённых в точке D, то указанные два столбца находятся сразу. Если же точек, где соединяют-ся звенья ломаной, несколько, то надо взять ту из них, у которой ордината максимальна. Имен-но нахождение такой точки и делается графически. Большой точности в построениях не требу-ется, поскольку всё, что нужно – это найти те два столбца, которые соответствуют двум лини-ям, определяющим эту точку.

Далее для вычисления оптимальных смешанных стратегии надо рассмотреть 2×2 матрицу P, образованную найденными выше двумя столбцами. В данном случае это 3-ий и 4-ый столб-цы, а сама матрица имеет вид:

P =

(см. исходную матрицу Q). Для этой матрицы найдём решение в смешанных стратегиях спосо-бом, подробно описанном в примере 7. Имеем в данном случае q ₁₁= 6, q ₁₂= 3, q ₂₁= 4, q ₂₂= 6. Поэтому в силу формул (35)

Рис.4

 

= = =0,4; = = =0,6;

= 1- = 1 - 0,4 =0,6; = 1- = 1 -0,6 = 0,4.

Теперь вспоминаем, что в исходной матрице размера 2×4 у игрока A есть две чистых стратегии: выбор 1-й или 2-й строки. В данном случае имеем

x * = (0,4; 0,6).

У игрока B есть четыре чистых стратегии, соответствующие выбору одного из 4-ёх столбцов за-данной матрицы. Однако активными (т.е. отличными от 0) являются только те две стратегии, которые соответствуют выбранным (с помощью рисунка) столбцам. В нашем случае это столб-цы 3 и 4. Вероятность выбора 3-его и 4-го столбца была найдена выше: 0,6 и 0,4. Сама опти-мальная стратегия игрока B имеет вид

y * = (0; 0; 0,6; 0,4).

Цена игры V с исходной матрицей Q совпадает с ценой игры с матрицей P. В силу 3-ьей части утверждения 5 и формулы (9) получаем

V = ·6 + ·3 + ·4 + ·6 = 0,4·0,6·6 + 0,4·0,4·3 + 0,6·0,6·4 + 0,6·0,4·6 = 1,44 + 0,48 + 1,44 + 1,44 = 4,8 ■

Задание 4. Найти решение и цену в игре со следующей платёжной матрицей (см. примеры 8 и 9).

01	02	03	04	05
06	07	08	09	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25
26	27	28	29	30
31	32	33	34	35
36	37	38	39	40
41	42	43	44	45
46	47	48	49	50

■

Во многих случаях удаётся упростить описанный выше поиск решения матричных игр с платёжной матрицей размерности 2´ n за счёт предварительного упрощения платёжной матри-цы способами, описанными в разделе 3. Проиллюстрируем это в следующем примере.

Пример 10. Рассмотрим матричную игру двух лиц со следующей платёжной матрицей размера 2´6: Q = . В данной матрице 1-ый, 3-ий и 4-ый столбцы домини-руемы 2-ым, 5-ым и снова 2-ым столбцами соответственно. После их удаления остаётся матри-ца P = , которая больше не упрощается. Номера её столбцов в исходной матрице та-ковы: (2, 5, 6). Далее применим описанный в примере 9 графо-аналитический метод поиска решения к матрице P. Входящие в формулу (38) три линейные функции должны проходить через точки (0, q _{2 j}) и (1, q _{1 j}) (j = 1, 2, 3). С учётом матрицы P эти точки таковы:

(0, 2) и (1, 5); (0, 4) и (1, 1); (0, 3) и (1, 3).

Изобразим соответствующие отрезки на рис.5. Функция v (x), определённая формулой (38), пока-зана жирной линией. Эта линия состоит из двух отрезков, пересекающихся в точке D. Сами от-резки соответствуют 1-му и 2-му столбцам матрицы P. Матрица R, образованная этими столбца-ми, такова: R = . Аналогично тому, как это делалось в примере 9, находим

= = =0,33; = = =0,5;

= 1- = 1 - 0,33 =0,67; = 1- = 1 -0,5 = 0,5.

Поскольку рассмотренные два столбца были 2-ым и 5-ым в исходной матрице Q, получаем

x * = (0,33; 0,67) и y * = (0; 0,5; 0; 0; 0,5; 0) ■

Рис.5

Задание 5. Упростить платёжную матрицу и найти решение и цену игры в играх с матри-цами из задания 4 (см. пример 10) ■

 

Предметный указатель

 

график

игрока А

игрока В

игр матричных, смешанное расширение

игра

матричная

размерности

2´2

2´ n

с нулевой суммой

платёжная матрица

решение игры

в смешанных стратегиях

в чистых стратегиях

решения игры, нахождение

стратегий, удаление

стратегия

доминируемая

дублирующая

смешанная

оптимальная

игрока A

игрока В

оптимальная

игрока A

игрока В

цена игры

верхняя

нижняя

в смешанных стратегиях