Алгоритм проверки значимости логического рассуждения

1. Представить рассуждение, обозначая символами отдельные входящие в предпосылки и в вывод простые (т.е. исходные) высказывания, в формальном виде, как это делалось в приме-рах 1-3 – 1-16.

2. Построить по формальному представлению высказывания булеву функцию, как это де-лалось в конструкции, описанной в начале настоящего раздела 3. Если полученная функция не представлена в виде (28), то исходное высказывание просто не является логическим рассужде-нием и далее на предмет значимости не рассматривается.

3. Составить таблицу истинности для данной булевой функции, как это делалось в приме-рах 3, 4, 10 – 12. Если функция окажется тождественно равной 1, то исходное рассуждение яв-ляется значимым. В противном случае оно не значимо ■

Указанный алгоритм даёт несколько больше, чем просто проверка значимости. Логика рассуждения нарушается как раз на тех наборах переменных, на которых функция равна 0. Пос-кольку импликация равна 0 тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно, то это и значит, что для этих наборов заключение не следует из посылки. Это и есть нарушение логики.

Приведём примеры значимых и не значимых логических рассуждений.

Пример 16. Для всехлогических рассужденийиз примера 15 сопровождающая функция равна 1 на всех наборах, т.е. все эти логические рассуждениязначимы ■

Пример 17. Рассмотрим следующее высказывание: «Если я видел дальше, чем другие, то потому, что я стоял на плечах гигантов (Ньютон). Я не видел дальше, чем другие. Следо-вательно, я не стоял на плечах гигантов». Его первая часть (до 1-ой точки) рассмотрена в примере 1-11. Эта часть представлена формально в виде P ® Q, где

P = «Я стоял на плечах гигантов»,

Q = «Я видел дальше других».

Рассматриваемое высказывание представляется в виде ((P ® Q)ÙØ Q)®Ø P при тех же самых P и Q. Сопровождающая его формула ((p ® q)ÙØ q)®Ø p записывается в виде (28):

((p ® q) Ù Ø q) ® Ø p

­ ­ ­ ­ ­

предпосылка 1 и предпосылка 2 влекут вывод

т.е. рассматриваемое высказывание является логическим рассуждением.

Построим таблицу истинности для данной булевой функции. Все необходимые шаги ука-заны в таблице 11.

Таблица 11. Построение таблицы истинности для функции ((p ® q)ÙØ q)®Ø p

Так как последний столбец содержит только единицы, то рассматриваемое логическое рассуж-дение значимо ■

Пример 18. Рассмотрим логическое рассуждение из примера 14: «Если Вы хотите улуч-шить свою сердечно-сосудистую систему, то стоит кататься на беговых (не горных) лы-жах. Вы катаетесь на беговых лыжах. Значит, Вы хотите улучшить свою сердечно-сосу-дистую систему». Его сопровождающая функция равна ((p ® q)Ù q)® p. В таблице истинности для данной функции (см. таблицу 12) последний (самый правый) столбец содержит не только единицы, но и нули. Это по определению и означает, что данное рассуждение не значимо. Более того, по той строчке, в которой в последнем столбце стоит 0, можно понять, где именно «лома-ется» логика. В данном случае это происходит при p = 0и q = 1. Другими словами, Вы не хотите улучшать Вашу сердечно-сосудистую систему (да просто Вас здоровье, к счастью, не беспокоит), а на лыжах катаетесь для удовольствия!

Таблица 12. Построение таблицы истинности для функции ((p ® q)Ù q)® p

■

Заметим, что значимость и истинность рассуждения – понятия разные. Значимое рассуж-дение обязано быть истинным высказыванием при любых истинностных значениях входящих в него простых высказываний, а истинное высказывание вообще не обязано иметь специальный вид логического рассуждения. И в любом случае истинность любого составного высказывания определяется истинностью его простых составляющих, которая вообще не обсуждается. В част-ности, значимым логическим рассуждением является высказывание 5 из примера 13, вывод ко-торого утверждает, что все мужчины являются женщинами. Но оно действительно следует из имеющихся предпосылок (все мужчины рождаются равными и др,), смысл которых не обсужда-ется.