Таким образом, за месяц за счет изменения цен и физического объема товарооборот увеличился на 5,5 млн. руб

Вариант 0

 

Задача 1

 

С целью изучения производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено обследование и получены следующие данные:

 

Время обработки одной детали, мин.	18-20	20-22	22-24	24-26	26-28	28-30	Итого
Число рабочих

 

Определите:

1) Среднее время обработки одной детали.

2) Дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени обработки детали.

3) Коэффициент вариации.

4) По рассчитанным показателям сделайте выводы.

 

Решение: Перейдем к дискретному ряду распределения, выбрав в качестве вариант середины интервалов. Заполним расчетную таблицу:

 

Время, мин.,	18-20	20-22	22-24	24-26	26-28	28-30	Суммы
Варианта,
Частота,

 

1) Вычислим среднее время обработки одной детали:

мин.

 

2) Вычислим выборочную дисперсию:

 

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

мин.

 

3) Вычислим коэффициент вариации:

 

Ответ: мин., мин.,

 

4) Краткие выводы: Среднее время обработки одной детали по результатам обследования составляет 24,48 мин., что соответствует примерно середине выборки. Показатели вариации не слишком велики, то есть, большинство рабочих укладываются в среднестатистическую норму (нет большой группы рабочих с явно низкой или высокой квалификацией).

 

Задача 2

 

1. Проведите аналитическую группировку рабочих с целью выявить взаимосвязь между стажем работы и показателем выработки рабочего. По каждой группе исчислите число рабочих, средний стаж работы, а также месячный объем выработки всего и в среднем на одного рабочего в группе. Применить табличный метод группировки и расчетов. Сделайте вывод.

 

2. По результатам группировки вычислите общую, межгрупповую (факторную) и остаточную дисперсии значений объема выработки рабочего, эмпирическое корреляционное соотношение и коэффициент детерминации. Сделайте выводы.

 

3. Найдите уравнение линейной регрессии между стажем работы и показателем выработки рабочего, коэффициенты эластичности и корреляции. Проверьте значимость уравнения и коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента. Сделайте выводы.

 

Табельный номер рабочего	Стаж работы, годы	Выработано продукции, тыс. ед.
	4,6
	6,8
	1,2
	8,3
	5,4
	9,3
	12,4
	4,7
	3,8
	6,6
	5,1
	10,6
	8,2
	9,9
	9,7
	5,7
	13,2
	6,4
	7,8

 

Решение: Вычисления данного задания проведем средствами приложения MS Excel

 

1. Проведите аналитическую группировку.

Упорядочим выборку по стажу работы рабочих:

 

Табельный номер рабочего	Стаж работы, годы	Выработано продукции, тыс. ед.
	1,2
	3,8
	4,6
	4,7
	5,1
	5,4
	5,7
	6,4
	6,6
	6,8
	7,8
	8,2
	8,3
	9,3
	9,7
	9,9
	10,6
	12,4
	13,2

 

Размах вариации признака-фактора: . Выборку удобно разделить на 3 интервала. Величина отдельного интервала: .

По каждой группе (выделены разными цветами в приведенной выше таблице) вычислим суммы и средние значения признаков. Используем простые средние. Заполним соответствующую таблицу:

 

Границы интервалов стажа работы, лет	Количество единиц выборки в отдельной группе	Среднее значение стажа работы по группе, лет	Суммарное значение выработки продукции по группе, тыс. ед.	Среднее значение выработки продукции по группе, тыс. ед.
1,2	5,2		3,26		22,4
5,2	9,2		6,7		54,3333
9,2	13,2		10,85		90,1667
Итого:

 

Таким образом, с увеличением средних значений стажа работы наблюдается увеличение средних значений выработки, что говорит о прямой зависимости признака-результата от признака-фактора (и логично с содержательной точки зрения).

 

 

2. Найдем среднее значение результативного признака:

тыс. ед.

 

Вычислим межгрупповую (факторную) дисперсию:

Вычислим общую дисперсию.

Найдем момент второго порядка:

Общая дисперсия:

 

Найдем эмпирическое корреляционное отношение:

Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между признаками. В данном случае значение близко к единице, что свидетельствует об очень тесной зависимости размера выработки продукции от стажа работы.

 

Вычислим эмпирический коэффициент детерминации:

Таким образом, 91,64% вариации выработки обусловлено вариацией стажа работы, остальные 8,36% – обусловлены другими факторами

Остаточная дисперсия:

 

3. Найдем уравнение линейной регрессии между стажем работы и показателем выработки рабочего.

Методом наименьших квадратов рассчитаем коэффициент корреляции и составим уравнение линейной регрессии . Заполним расчетную таблицу:

 

Стаж работы, годы,	Выработано продукции, тыс. ед.,
1,2		-5,885	-43,1	253,644	34,6332	1857,61
		-5,085	-44,1	224,249	25,8572	1944,81
3,8		-3,285	-39,1	128,444	10,7912	1528,81
4,6		-2,485	-29,1	72,3135	6,17523	846,81
4,7		-2,385	-18,1	43,1685	5,68822	327,61
5,1		-1,985	-15,1	29,9735	3,94023	228,01
5,4		-1,685	-14,1	23,7585	2,83923	198,81
5,7		-1,385	-13,1	18,1435	1,91823	171,61
6,4		-0,685	-1,1	0,7535	0,46922	1,21
6,6		-0,485	0,9	-0,4365	0,23522	0,81
6,8		-0,285	1,9	-0,5415	0,08122	3,61
7,8		0,715	3,9	2,7885	0,51123	15,21
8,2		1,115	4,9	5,4635	1,24323	24,01
8,3		1,215	6,9	8,3835	1,47623	47,61
9,3		2,215	37,9	83,9485	4,90623	1436,41
9,7		2,615	31,9	83,4185	6,83823	1017,61
9,9		2,815	34,9	98,2435	7,92423	1218,01
10,6		3,515	31,9	112,129	12,3552	1017,61
12,4		5,315	28,9	153,604	28,2492	835,21
13,2		6,115	32,9	201,184	37,3932	1082,41
141,7				1542,63	193,526	13803,8

 

Вычислим средние:

, .

Найдем корреляционный момент:

.

Вычислим стандартные отклонения:

,

.

Вычислим коэффициент линейной корреляции:

.

Коэффициент корреляции близок к единице, что еще указывает на очень тесную линейную зависимость выработки продукции от стажа работы.

Вычислим коэффициенты линейной регрессии:

.

.

Таким образом, искомое уравнение:

.

Уравнение показывает, что при увеличении стажа работы на 1 год выработка продукции увеличивается в среднем на 7,97 тыс. ед.

 

Вычислим коэффициент эластичности:

Следовательно, с увеличением (уменьшением) стажа работы на 1% его средней величины выработка продукции увеличивается (уменьшается) примерно на 0,99% её средней величины.

 

Используя -тест (критерий Стьюдента), проверим значимость коэффициента при переменной, то есть гипотезу . Соответствующая -статистика:

В данном случае стандартная ошибка коэффициента регрессии:

Таким образом

Для уровня значимости в 5% с числом степеней свободы 20 – 2 = 18 по соответствующей таблице находим: .

, значит, на данном уровне значимости имеет смысл отвергнуть гипотезу , что истинный параметр регрессии , то есть с 95-ой уверенностью можно утверждать наличие зависимости нормы выработки от стажа работы.

В парной линейной регрессии - статистика параметра совпадает со значением - статистики коэффициента корреляции, поэтому коэффициент корреляции также статистически значим.

 

Оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью -критерия Фишера.

Найдем фактическое значение критерия:

.

Табличное значение -критерия при числе степеней свободы 1 и 18 на уровне значимости 0,05 составляет: .

, таким образом, уравнение регрессии статистически значимо.

Задача 3

Имеются данные по торговому предприятию:

Виды товаров	Товарооборот, млн. руб.	Изменение цен в апреле по сравнению с ценами в марте, %
Март	Апрель
Швейные изделия	3,6	4,8	+ 20
Трикотажные изделия	4,4	6,6	+ 10
Обувь	2,1	4,2	+ 8

 

 

Определить:

1. Показатели анализа ряда динамики, характеризующие изменение цен в целом на все виды товаров: а) за месяц; б) среднесуточное.

2. Общие индексы товарооборота и физического объема реализации товаров.

3. Абсолютное изменение товарооборота всего, а также за счет динамики цен на товары и за счет изменения объема реализованных товаров.

4. Сделайте выводы по рассчитанным показателям.

 

 

Решение:

1. Из условия следует, что индивидуальные индексы цен составляют:

, ,

 

Общий индекс цены определим по формуле:

 

Таким образом, за месяц цены выросли в среднем на 12,32%

Каждые сутки цена в среднем увеличивалась на

 

2. Вычислим общий индекс товарооборота:

Таким образом, за месяц товарооборот увеличился на 54,46%

Вычислим индекс физического объема:

Таким образом, за месяц физический объем продаж увеличился на 37,51%

 

3. Вычислим абсолютный прирост товарооборота:

Таким образом, за месяц за счет изменения цен и физического объема товарооборот увеличился на 5,5 млн. руб.