Перечислим аксиомы, которые выражают основные свойства плоскостей в пространстве

C1: Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

 

 

Рисунок 2

 

На рисунке 2 точка А принадлежит плоскости , а точки B и С не принадлежат ей.

C₂: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

 

Рисунок 3

 

На рисунке 3 две различные плоскости и имеют общую точку А, а значит, по аксиоме С₂существует прямая принадлежащая каждой из этих плоскостей. Приэтом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой а.

Плоскости и в этомслучае называются пересекающимися по прямой а.

C3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

 

 

Рисунок 4

 

На рисунке 4 изображены две различные прямые a и b имеющие общую точку О, а значит, по аксиоме С₃, существует плоскость , содержащая прямые a и b. При этом по той же аксиоме C₃ плоскость единственная.

Пользуясь этими аксиомами, можно доказать несколько первых теорем стереометрии.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема 3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Упражнения с решениями

Пример 1. Дана плоскость . Доказать, что существует прямая, не лежащая в плоскости и пересекающая ее.

Решение. Возьмем в плоскости точку А, что можно сделать по аксиоме С1. По той же аксиоме существует точка В, которая плоскости не принадлежит. Через точки А и В можно провести прямую. Прямая АВ не лежит в плоскости и пересекает ее (в точке А).

Пример 2. Дана плоскость . Доказать, что существует другая плоскость , пересекающая .

Решение. Возьмем точки А и В, принадлежащие плоскости, и точку С, не принадлежащую ей (аксиома С1). Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Через них по теореме 3 можно провести плоскость, и притом только одну. Плоскости и имеют общую точку, а значит, по аксиоме С2 плоскости и пересекаются.

Задания к практической работе

Задание 1. Через данную точку А, не принадлежащую данной плоскости, проведите прямую, параллельную.

Задание 2. Верно ли утверждение: если прямая параллельна плоскости, то она не пересекает ни одной прямой: а) лежащей в этой плоскости; б) параллельной этой плоскости? Ответ обоснуйте.

Задание 3. Известно, что прямая m параллельна плоскости . Параллельна ли эта прямая любой прямой, лежащей в плоскости ? Ответ обоснуйте.

Задание 4. Через данную прямую а проведите плоскость, параллельную данной прямой b. (Рассмотрите возможные случаи взаимного расположения прямых a и b)

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные геометрические фигуры в пространстве.

2. Перечислите основные аксиомы стереометрии.

3. Докажите одну из теорем, приведенных в теоретическом материале данной практической работы.

Рекомендуемая литература: 1.2, 2.2

Практическая работа №45