Определение выгодного пути

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

И МОДЕЛИ

 

Методические указания к выполнению контрольной работы для бакалавров направлений 080100.62 «экономика» и 080200.62 «Менеджмент» заочной формы обучения

 

Красноярск 2014

 

УДК 330.4:519.2

 

 

Рецензент:

Кандидат технических наук, доцент А.В. Зиненко

(Сибирский государственный аэрокосмический университет

имени академика М.Ф. Решетнева)

 

Экономико-математические методы и модели: Методические указания к выполнению контрольной работы для бакалавров направлений 080100.62 «экономика» и 080200.62 «Менеджмент» заочной формы обучения / Сост.: Ю. В. Ерыгин, В. Е. Герасимова; СибГАУ. Красноярск, 2014. 74 с.

 

 

Учебно-методическое издание

 

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

И МОДЕЛИ

 

Методические указания к выполнению контрольной работы для бакалавров направлений 080100.62 «экономика» и 080200.62 «Менеджмент» заочной формы обучения

 

 

Составители:

Ерыгин Юрий Владимирович

Герасимова Валерия Евгеньевна

 

© Сибирский государственный аэрокосмический

университет имени академика М. Ф. Решетнева, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие……………………………………………………………… 4

1. Определение выгодного пути………………………………………… 5

2. Планирование производственной программы………………………. 13

3. Распределение средств на расширение производства………………. 18

4. Производство и затраты………………………………………………. 24

5. Предприятие и рынок…………………………………………………. 34

6. Экспертные методы……………………………………………………. 41

7. Матричное моделирование в анализе межотраслевых связей………. 55

Библиографический список……………………………………………………… 66

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние годы значительный вес в экономических исследованиях приобрели экономико-математические методы и модели. Математические методы, используются с одной стороны для исследования операций в больших природных и технических системах, а с другой стороны – находят широкое применение в финансово-экономической сфере. Содержательно экономико-математические методы опираются на традиционные математические дисциплины, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, линейную алгебру, дискретный анализ, теорию вероятности и др.

Цель контрольной работы – закрепить и проверить знания, полученные студентами в процессе самостоятельного изучения учебного материала, а также выявить умения применять на практике методы экономико-математического моделирования. Студент должен в установленный срок выполнить контрольную работу по семи темам. По каждой теме необходимо решить свой вариант задания. Номер варианта задания выбирается в соответствии с первой буквой фамилии.

При выполнении контрольной работы рекомендуется придерживаться определенной последовательности действий.

На первом этапе необходимо познакомиться с теоретическим материалом по каждой теме контрольной работы. С этой целью рекомендуется изучить теоретический материал, изложенный как в приведенном библиографическом списке, так и на лекциях.

На втором этапе необходимо познакомиться с примерами решения задач, приведенных по каждой теме.

На третьем этапе полученные теоретические и практические представления по каждой теме контрольной работы закрепляются посредством решения своего варианта задания (номера задачи).

При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующими требованиями:

1. В начале работы должен быть указан номер варианта.

2. Перед решением задачи следует привести ее условие.

3. Решение задач нужно сопровождать формулами, развернутыми расчетами и выводами по их результатам.

4. Задачи, по которым даются ответы без развернутых расчетов, пояснений, выводов, считаются нерешенными.

5. Контрольная работа должна быть оформлена аккуратно, написана разборчиво.

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫГОДНОГО ПУТИ

Граф – это совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами (или дугами).

Многие практические задачи могут быть решены с помощью теории графов. Так, например, задача размещения, задача почтальона, задача строительства дорог.

Пример решения задачи

Требуется перевезти груз из города А в город В. Сеть дорог, связывающих А и В показана на рис. 1.1. Стоимость перевозки груза из города S в город J проставлена над соответствующими дугами сети.

Задание. Необходимо найти маршрут, связывающий А и В, для которого суммарные затраты на перевозку груза были бы наименьшими.

Условие. Вершинам сети соответствуют города, а дугам
транспортные магистрали (рис. 1.1).

 

Рис. 1.1

Алгоритм решения

Используется метод динамического программирования.

1. Задача разбивается на шаги искусственным образом. В качестве
шага выбирается некоторое подмножество городов, на которое разбивается всё множество в соответствии с заданной сетью транспортной магистрали. Сеть, изображенную на рис. 1.1 удобно разбить на четыре части. Процесс решения задачи разбивается на четыре шага.

2. В качестве параметра, характеризующего состояние управляемой
системы, перед каждым шагом выберем номер города, из которого
нужно выехать, обозначим его S.

3. В качестве параметра шагового управления для каждого шага выберем номер города, через который нужно ехать из города S, обозначим его J.

4. Выигрыш, который приносит на n шаге управление , будет () − стоимость перевозки груза из S в J.

Пусть − минимальные затраты на перевозку груза от города S до конечного города, если осталось n шагов.

5. Обозначим через − состояние, в которое должна перейти система под влиянием управления на n шаге.

6. Основное рекуррентное уравнение для данной задачи имеет вид

. (1.1)

 

Решение задачи

Выполняем первый этап − оптимизацию в условном направлении. Оптимизация в условном направлении выполняется с последнего шага . Рекуррентное уравнение для в соответствии с (1.1) имеет вид .

Состояние системы S на данном шаге может иметь значение 7 или 8 (номера городов, из которых можно выехать на данном шаге). Шаговое управление J = 9 (номер города через который следует ехать из города S).

Выигрыш (затраты по перевозке из S в J) определяется по
рис.1 для всех возможных на данном шаге значений S и J: = 9; = 8. Значение так как из города 9 груз вывозить не надо. Таким образом, затраты на перевозку из 7 и 8 в конечный город определяются суммами:

Оформим решение в виде табл. 1.1.

Таблица 1.1

S J
	9+0
	8+0

В первом столбце табл. 1.1 расположены возможные значения состояния системы S на шаге n. В первой строке − возможные значения шагового управления J. В каждой клетке сумма для соответствующих значении S и J на данном шаге. Значения при берутся из предыдущей таблицы. Для . В предпоследнем столбце вычисляются минимальные затраты по перевозке груза из города S, если до конца маршрута осталось n шагов − (наименьшее значение из сумм в строке). В последнем столбце фиксируется номер города , через который следует ехать, чтобы достичь минимальных затрат ,

.

Результат оформим в виде табл. 1.2.

Таблица 1.2

S J
	8+9	-
	6+9	5+8
	-	5+8

Рекуррентное соотношение для (n-3) имеет вид .

Вычисления для третьего шага оформим в виде табл. 1.3.

Таблица 1.3

S J
	17+7	-	15+13
	-	6+13	8+13

Для последнего шага − в табл. 1.4.

Таблица 1.4

S J
	10+24	11+19

Второй этап − безусловная оптимизация.

В табл. 1.4 − искомые минимальные затраты по перевозке груза из города А в конечный город В. Для того, чтобы получить эти затраты, груз из города должен быть доставлен в город .

Находим новое состояние системы на втором шаге

.

По новому состоянию S = 3 из табл. 1.3 определяем − город в который нужно ехать из города 3, чтобы получить минимальные затраты . Состояние системы на третьем шаге .

Находим (для ) номер города, в который нужно
ехать из города , это из табл. 1.2. Состояние системы на четвертом шаге . В табл. 1.1 этому состоянию соответствует город . Двигаясь от последней таблицы к первой определяем, оптимальный маршрут , затраты на перевозку груза по которому составляют .