Наибольшее и наименьшее значение функции

Согласно теореме Вейерштрасса, если функция непрерывна на отрезке , то она принимает на нем наибольшего и наименьшего значения. Наибольшее и наименьшее значения функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой.

1. Находим производную .

2. Определяем критические точки функции, в которых или не существует.

3. Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее .

Замечание. Если функция непрерывна на интервале , то она может не принимать на нем наибольшего и наименьшего значения.

Если или больше большего из значений функции в критических точках интервала, то наибольшего значения на всем интервале не существует. Аналогично не существует наименьшего значения, если или меньше меньшего из значений в критических точках.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение:

1. Производная функции:

2. Приравниваем производную функцию к нулю и находим критические точки .

3. Значения функции в критических точках , и на концах и .

Следовательно, , .

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение: Функция определена на всей числовой оси. Изменение аргумента не ограничено каким-либо отрезком. Поэтому исследуем функцию для . Вычисляем производную . Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку: . При переходе через эту точку производная функции меняет знак с плюса на минус, следовательно, точка максимума . Если , функция бесконечно убывает, но наименьшего значения не имеет.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение: Функция определена на всей числовой оси. Изменение аргумента не ограничено каким-либо отрезком. Поэтому исследуем функцию для .

Находим производную и приравниваем ее к нулю . Откуда , , , , . Подставляя найденные критические точки в функцию, находим, что при , функция имеет наибольшие значения, равные единице, а при , - наименьшие значения, равные .

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение: Функция определена на всей числовой оси. Изменение аргумента не ограничено каким-либо отрезком. Поэтому исследуем функцию для . Найдем производную . В точке производная не существует. Значение функции при равно -1. При функция неограниченно возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции будет , а наибольшего значения функция не имеет.