Інтерпретація формул логіки предикатів

Як і в логіці висловлень, значення істинності формули логіки предикатів залежить від інтерпретації. Оскільки атомарні формули містять терми, то інтерпретація формул логіки предикатів значно складніша, ніж інтерпретація формул логіки висловлень. Інтерпретація формули логіки предикатів може бути здійснена з врахуванням конкретної області інтерпретації, яка є множиною всіх можливих значень термів, які входять у формулу. Інтерпретація надає певний зміст (значення істинності) формулі і передбачає дії (встановлення певних відповідностей), які схематично подані на рис.23

Формально під інтерпретацією формули α, яка містить n - місні предикатні символи , ,…, , розуміють систему, яка складається з не порожньої множини D, яку називають областю інтерпретації, і відповідності I, яка зіставляє:

1. Кожній предметній константі а,b,…, e - конкретний елемент з D, (т.б. I (а), I (b),…, I (e) D); при цьому вважають, що вільні предметні змінні в α пробігають D*.

2. Кожному k- місному функціональному символу , , - певну k - місну операцію в D (т.б. функцію, яка відображає в D; I (),I ), I (): D) **.

3. Кожному n - місному предикатному символу - деяке n - місне відношення (предикат), визначене на .

Зазначимо, що будь - яке n- місне відношення в можна розглядати як деяку підмножину множини всіх n-ок елементів з D, тобто I() (), ()- множина всіх підмножин .

При інтерпретації формули, які не містять жодної вільної предметної змінної (замкнені формули або речення), перетворюються на висловлення, а формули з вільними предметними змінни ми (відкриті формули) - на висловлювальну форму. Істинність чи хибність останніх можна визначити, якщо замість вільних змінних підставити деякі значення (елементи) з множини інтерпретації. Зазначимо, що значення, які отримані в результаті інтерпретації виразів (символів, формул тощо), також називають інтерпретаціями виразів (символів, формул тощо).

Отже, завдяки встановлення відповідності через «інтерпретацію» формулам логіки предикатів надається певний зміст.

Введемо поняття виконуваності та істинності формул логіки предикатів.

Нехай задана деяка інтерпретація з областю D. Формула логіки предикатів називається:

1) виконуваною в даній інтерпретації, якщо існує заміщення всіх вільних входжень предметних змінних в назвами елементів множини D, яке призводить до істинного в даній інтерпретації висловлення (іншими словами, якщо істинне в інтерпретації);

2) істинною в даній інтерпретації, якщо будь - яке можливе заміщення всіх вільних входжень предметних змінних в елементами множини D призводить до істинного в даній інтерпретації висловлення (якщо в істинне в інтерпретації);

3) хибною (невиконуваною) в даній інтерпретації, якщо не існує жодного заміщення всіх вільних входжень предметних змінних в  елементами множини D, яке призводить до істинного в даній інтерпретації висловлення (якщо хибне в інтерпретації);

4) спростовною в даній інтерпретації, якщо існує заміщення всіх вільних входжень предметних змінних в елементами множини D, яке призводить до хибного висловлення (якщо хибне в інтерпретації).

Інтерпретація, в якій формула стає істинною, називається моделлю цієї формули. Поняття моделі формули природним чином узагальнюється до поняття моделі множини Г формул логіки предикатів.

Інтерпретація називається моделлю множини формул Г, якщо кожна формула з Г істинна в цій інтерпретації.