Абсолютная и условная сходимость

ПП 23. Несобственные ИНТЕГРАЛы

Основные определения и формулы

1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку)

Если пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы сходятся. Если же эти пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы расходятся.

 

Обобщенная формула Ньютона-Лейбница

.

,

, где F() = ,

F (x) – первообразная для функции f (x).

Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами

Признаки сравнения

1. Если а £ х < +¥, 0 £ f (х) £ g (х), то

из сходимости сходимость , £ ;

из расходимости расходимость .

2. Если при а £ х < +¥, f (х) > 0, g (х) > 0 и существует конечный предел , то интегралы , сходятся или расходятся одновременно.

Эталоном сравнения служит интеграл:

сходится при р > 1, при р 1 расходится.

 

Признак сходимости Абеля

Если f (х) >0 и g (х) определены и ограничены при а £ х < +¥, причем

1) сходится;

2) g (х) монотонна и ограничена, ,

тогда сходится и интеграл .

Абсолютная и условная сходимость

Если сходится , то сходится и . В этом случае называется абсолютно сходящимся.

Если сходится, а расходится, то называется условно сходящимся.

 

ПП 23. 1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку)
№ п/п	Задача	Ответ
ПП 23№1	Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла . РЕШЕНИЕ: . - площадь фигуры, ограниченной осью Ох, линией , прямой x = 1, .	1
ПП 23 №2	Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла . РЕШЕНИЕ: . - площадь фигуры, ограниченной осью Ох, линией , прямой x = 1, .	расходится
ПП 23 №3	Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла . РЕШЕНИЕ: не существует. Несобственный интеграл расходится.	расходится
ПП 23 №4	Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла . РЕШЕНИЕ: . - площадь фигуры, ограниченной осью Ох, линией , прямой x = 0, .
ПП 23 №5	Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла . РЕШЕНИЕ: . - площадь фигуры, ограниченной осью Ох, линией , .
ПП 23№6	Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла . Решение: = = = = .
ПП 23 №7	Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла . РЕШЕНИЕ: = = =
ПП 23 №8	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. РЕШЕНИЕ:	расходится
ПП 23 №9	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. РЕШЕНИЕ:
ПП 23 №10	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится.   РЕШЕНИЕ:
ПП 23 №11	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. РЕШЕНИЕ: предел не существует, расходится.	расходится
ПП 23 №12	Исследуйте на сходимость интеграл РЕШЕНИЕ: Интеграл расходится, т. к. р = < 1. По предельному признаку сравнения значит, интеграл расходится.	расходится
ПП 23 №13	Исследуйте на сходимость интеграл РЕШЕНИЕ: интеграл расходится, по предельному признаку сравнения расходится.	расходится
ПП 23 №14	Исследуйте на сходимость интеграл .   РЕШЕНИЕ:   Интеграл расходится, т. к. р = < 1, следовательно, по первому признаку сравнения расходится и .	расходится
ПП 23 №15	Исследуйте на сходимость интеграл . РЕШЕНИЕ: , Интеграл = расходится, т. к. р = < 1, следовательно, по первому признаку сравнения расходится и .	расходится
ПП 23 №16	Исследуйте на сходимость интеграл . РЕШЕНИЕ: Подынтегральная функция = , наибольшая степень многочлена в знаменателе равна 3. Для сравнения возьмем функцию g (х)= , = =1¹0, по предельному признаку сравнения интеграл и интеграл сходятся или расходятся одновременно. Интеграл сходится, т.к. р > 1, следовательно, интеграл тоже сходится.	сходится
ПП 23 №17	Исследуйте абсолютную сходимость интеграл . РЕШЕНИЕ: Подынтегральная функция = ; = , т.к. ½сos 2 х ½ £ 1 для любых х. Интеграл = = = = сходится. Тогда по признаку сравнения сходится интеграл , значит, интеграл сходится абсолютно.	сходится абсолютно

 

2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)

,

если функция непрерывна

на полуинтервале [ a,b)

и неограниченна вблизи b;

,

если функция непрерывна

на полуинтервале (a,b ] и неограниченна вблизи а;

,

если функция непрерывна на отрезке [ a, b ] всюду, кроме некоторой точки с (а < c < b), и неограниченна вблизи с.

- площадь бесконечной фигуры, ограниченной снизу отрезком [ a, b ] оси Ох, сверху линией y = , слева и справа – прямыми x = a и x = b.

Если пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися, в противном случае - расходящимися.

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода:

, где F (b)= ,

, где .

Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами.

Эталоном сравнения служит интеграл:

сходится при 0< p < 1 и расходится при p ³ 1.

 

ПП 20. 2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
№ п/п	Задача	Ответ
ПП 23 №18	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. РЕШЕНИЕ: Подынтегральная функция не ограничена при x =2. По формулу Ньютона-Лейбница:
ПП 23 №19	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. РЕШЕНИЕ: Подынтегральная функция f (x)= не ограничена вблизи x =0. По определению: . Интеграл - расходится, поэтому и интеграл - расходится. Если вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке x = 0, то получили бы неверный результат .	расходится

 

ПП 23 №20	Вычислите или установите расходимость интеграла . РЕШЕНИЕ: Функция = непрерывна для х Î [0, 1), . = = = = - 0 = , т.е. интеграл сходится.
ПП 23 №21	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. РЕШЕНИЕ:	расходится
ПП 23 №22	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. РЕШЕНИЕ:
ПП 23 №23	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. Решение:
ПП 23 №24	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. Решение:
ПП 23 №25	Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится. Решение:
ПП 23 №26	Исследуйте на сходимость интеграл Решение: Интеграл сходится, т.к. р = < 1, , значит интеграл сходится по предельному признаку сравнения.	сходится
ПП 23 №27	Исследуйте на сходимость интеграл . Решение: Подынтегральная функция неограниченно возрастает при х ®0. , интеграл сходится, т.к. р = < 1, значит, интеграл сходится.	сходится
ПП 23 №28	Исследуйте на сходимость интеграл . РЕШЕНИЕ: Подынтегральная функция неограниченно возрастает при х ®1. Представим подынтегральную функцию в виде = = . Cравнение с при х ®1 даёт р = < 1. Интеграл сходится.	сходится
ПП 23 №29	Исследуйте на сходимость интеграл . РЕШЕНИЕ: - эквивалентные бесконечные большие функции. Интеграл расходится ( =1). По предельному признаку сравнения и расходится.	расходится
ПП 23 №30	Исследуйте на сходимость интеграл РЕШЕНИЕ: Интеграл сходится, т.к. р = < 1, значит, интеграл сходится по предельному признаку сравнения.	расходится