Построение графиков функций

№ п/п

Пример ПП 16 4. Построение графиков функций

№19

Исследуйте функцию и постройте её график. 1). Функция определена при всех . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения и ; получаем, что ось пересекается в точке с , а ось - в точках и . 2). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот. , При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределённости типа . Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение 3). Находим производную: . Знак производной определяется знаком выражения . Видим, что в области , при и при . Получаем, что в области функция убывает, при - возрастает и при - убывает. Находим критические точки. при , не существует при , . При переходе через знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. При производная не существует, значит, минимум острый. При переходе через вторую критическую точку производная меняет знак с (+) на (-), т.е. при - максимум: . При переходе через знак производной не меняется, значит экстремума нет. 4) Находим вторую производную: . Видим, что при ; в этой области график выпуклый; при , т.е. интервал также является областью выпуклости. При , следовательно, при график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при и при . При переходе через первую точку знак не меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами , .

Определение скорости возрастания и убывания функций

Скорость роста линейной функции постоянна и равна , квадратичной функции – линейна, и вообще, производная степенной функции, являясь меньшей степенью, растет медленнее, чем сама функция; скорость роста показательной функции пропорциональна значению самой функции, так как .

№ п/п	Пример ПП 16 5. Определение скорости возрастания и убывания функций
№20	Какая из функций или растет быстрее при больших ? При функция растет быстрее, так как ~ , а ~ . Определим, начиная с каких значений аргумента становится больше . Рассмотрим при . , при , функция возрастает, значит, , т.е. функция растет быстрее, начиная с .

Доказательство неравенств с помощью производной

Если в точке выполняется условие и для всех выполняется условие , то для всех верно неравенство .

№ п/п	Пример ПП 16 6. Доказательство неравенств с помощью производной
№21	Докажите неравенство: при . Рассмотрим . Докажем, что при , т.е. что эта функция является возрастающей. , т.к. , значит, , если . Это доказывает неравенство в случае строгого возрастания аргумента.