Бесконечно большие функции и их сравнение

Т10)

Предел суммы двух функций: Предел суммы двух функций равен сумме пределов:

Предел произведения двух функций: Предел произведения двух функций равен произведению пределов:

Дано:

Доказательство: , ,

(Предел суммы и частного доказывается аналогично)

Предел частного двух функций: Предел частного двух функций равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю:

Т11)

Теорема о пределе сложной функции: Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности точки и принимает значения в проколотой окрестности точки , причем . Тогда, если функция g(y) определена на , и , то и

Т12)

Теорема о знакопостоянстве функции, име­ющей ненулевой предел: Если , то существует окрестность точки а, в которой и знак совпадает со знаком значения b.

Доказательство: по условию , т.е. , или справедливы неравенства .

Возьмём за число . Тогда , , являются числами одного знака. Следовательно, в силу неравенства , и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а.

Т13)

Теорема о предельном переходе в неравенстве:

Если для двух функций и , имеющих пределы соответственно и выполняется неравенство , то и для их пределов выполняется то же неравенство, т.е. , ,

Доказательство

. По теореме о знакопостоянстве функции и ее предела имеем , т.е. . Теорема доказана.

Т14)

Теорема о пределе промежуточной функции:

Пусть для всех x из некоторой проколотой окрестности ( точки выполняется двойное неравенство , и пусть существуют пределы и , равные одному и тому же числу a. Тогда и

 

Т15)

c

Первый замечательный предел: (Геометрический способ)

Доказательство:

Проведем геометрическое доказательство, основанное на очевидном соотношении между тремя площадями:

Нами выбран круг единичного радиуса и угол х, выраженный в радианах, в интервале от 0 до п/2. Найдем три указанные площади и подставим в имеющееся неравенство:

Преобразовываем:

Сокращаем:

Затем делим на sinx

Так как предел косинуса при равен 1, то интересующий нас предел оказался заключен между двумя другими, имеющими одинаковый предел. Тогда от сюда следует, что

Второй замечательный предел:

Для функции верны следующие утверждения:

Т16) Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях:

1. Бесконечно малые функции и их сравнение.

 

Пусть y=f1(x) и y=f2(x) – некоторые две функции, а x стремится к некоторому x0 (конечному или бесконечному). Если при этом f1(x)→0 и f2(x)→0, то есть если

Это значит, что f2(x) несравненно меньше f1(x) при x→x0 (f2(x) несравненно быстрее, чем, стремится к нулю при x→x0). В этом случае говорят, что функция f2(x) является бесконечно малой функцией более высокого (высшего) порядка малости, чем функция f1(x), при x→x0. И обозначают этот факт так:

(читается: f2(x) есть «о малое» от f1(x) при x→x0). Суть записи (4.3) состоит, как сказано выше, в том, что бесконечно малая функция f2(x) является бесконечно малой частью другой бесконечно малой функции f1(x) при x→x0.

Вариант 2:

Это значит, что при x→x0 бесконечно малые функции f1(x) и f2(x) практически не отличаются друг от друга. В этом случае говорят, что функция f2(x) эквивалентна (равносильна) функции f1(x) при x→x0. И обозначается это так:

В этом случае говорят, что бесконечно малые при x→x0 функции f1(x) и f2(x) – одного порядка малости. И записывают этот факт так:

Бесконечно большие функции и их сравнение.

Пусть

то есть функции y=f1(x) и y=f2(x) при x→x0 по абсолютной величине стремятся к бесконечности. Тогда они называются бесконечно большими при x→x0.

Сравнивают бесконечно большие функции по тому же принципу, что и бесконечно малые. А именно:

Если

то функция f2(x) называется бесконечно большой функцией низшего порядка роста, чем бесконечно большая функция f1(x). А функция f1(x) – соответственно высшего порядка роста, чем f2(x).

В частности, очевидно, что функции y=x; y=x2; y=x3; y=ex являются бесконечно большими при x→+∞, причем каждая последующая из них – высшего порядка роста, чем предыдущая. И вообще, можно доказать (см. главу 4, §4), что любая степенная функция y=xn (n>0) при x→+∞ является бесконечно большой функцией низшего порядка роста, чем любая показательная функция y=ax (a>1). То есть

17) Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции:

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если: