Вычисление начальных моментов по способу произведений

 

W	n	A	a	an	a2	a2n	a3	a3n	a4	a4n
			-4	- 12			- 64	- 192
			-3	- 42			- 27	- 378
			-2	- 58			- 8	- 232
			-1	- 41			- 1	- 41
				- 153				- 843

 

В качестве условного начала (А) можно выбрать значение любого из классов вариационного ряда. Однако для упрощения вычислений этот выбор следует увязать с характером распределения вариант ряду. В правильных рядах, где модальный класс занимает приблизительно срединное место, его значение и принимается за условное начало. В асимметричных рядах, имеющих модальный класс в начале или конце ряда, за условное начало выбирается один из классов, отстающих от модального на несколько интервалов в сторону середины ряда.

А.К. Митропольский (1969) рекомендует контролировать правильность выбранного условного начала неравенством:

-0,5 < ν₁ < +0,5.

В нашем примере условное начало выбрано правильно, поскольку

ν₁ = -0,144 > -0,5.

Правильность полученных описанным способом значений моментов можно проконтролировать, руководствуясь порядком вычислений и формулами, показанными в таблице 2.3.

Содержание проверки сводится к следующему. В качестве нового условного начала (А ₁) для вычисления отклонений выбирается значение класса, отстоящего от прежнего на один интервал в сторону начала ряда. В нашем примере вместо А = 32 см, принимается А ₁ = 28 см. Затем вычисляются отклонения (а ₁) от нового начала, значенияих возводятся в четвертую степень и умножаются на соответствующие частоты.

Правильность вычислений значений искомых начальных моментов (ν₁, ν₂, ν₃, ν₄) признается в случае наличия тождества:

 

где: ν₀= 1.

Следует подчеркнуть, что выражение является четвертым начальным моментом (), вычисленным относительно А ₁ = 28 см, и его не следует смешивать с , полученным относительно А = 32 см.

В нашем примере:

 

;

 

Поскольку 43,45 ≈ 43,44, или 43,4 = 43,4, то делается вывод о том, что все четыре начальные момента вычислены верно.

При отсутствии тождества отыскание ошибок в вычислениях следует начинать с проверки величин а ² n, а ³ n, а ⁴ n для каждого класса вариационного ряда (табл. 2.3.). Указанные величины следует получить минуя вычисления а ², а ³, а ⁴, т.е. путем последовательного непосредственного умножения величины an на конкретное отклонение а. В нашем примере для класса 40 см: a ² n = an · a = 40 х 2 = 80; a ³ n =а²n · a =; 80 х 2=160; a ⁴ n = a ³ n · a =160·2=320

Контроль вычислений:

9038:208 = 1,0 + 4(-0,144) + 6 х 2,99 + 4 х 0 + 25,08

43,45 = 1,0 - 0,576 + 17,94 + 25,08;

43,45 ≈ 43,444;

43,4 = 43,4

Таблица 2.3

Проверка начальных моментов, вычисленных по способу произведений

W	n	A1			n
			- 3
			- 2
			- 1

Для упрощения техники вычисления и проверки значений начальных моментов, согласно данным Н.Н. Свалова (1977), все расчеты можно сосредоточить в одной таблице, как это показано ниже при вычислении начальных моментов по способу сумм.

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ МОМЕНТОВ

ПО СПОСОБУ СУММ

Для определения значений начальных моментов по способу сумм выполняются вспомогательные расчеты, согласно специальной форме (табл. 2.4).

Выбор условного начала (А) для подсчета отклонений выполняется аналогично вышеизложенному для способа произведений. При этом если вычисление моментов по способу сумм производится только для контроля значений моментов, полученных по способу произведений, то в обоих случаях следует иметь одинаковое условное начало.

В первые две колонки таблицы записывают классы (W) и частоты (n) вариационного ряда. Четыре последующих колонки оставляют для суммирования частот. Затем против значений класса условного начала (32) и его частоты (54) проводят черту, разделяющую таблицу на верхнюю и нижнюю части.

Таблица 2.4

Вспомогательные расчеты для вычисления и контроля начальных моментов по способу сумм

	W	n	S 1	S 2	S 3	S 4
							-
						-	-
	A1 =				-	-	-
	A =			-----------	-----------	-----------	-----------
					-	-	-
						-	-
							-
	-
		-153	-89	-26	-3
	+
	d		-30	-5	+10	+6
S

 

В нашем примере А = 32 см.

Суммирование (накопление) частот производится раздельно для верхней и нижней частей таблицы и выполняется так же, как при построении ряда в задании №1. Накопление частот в верхней части таблицы производится от начала ряда к его середине, а в нижней части таблицы от конца к середине.

В колонке S ₁ накопление частот производится по всем классам, кроме класса, записанного против разделительной черты. Накопление в каждой из последующих колонок (S ₂, S ₃, S ₄ ) заканчивается на один класс раньше, чем в предыдущей. Так, например, накопление частот в нижней части колонке S ₁ таблицы закончилось в классе 36 см (∑n = 67), в колонке S ₂ - в классе 40 см (∑n = 56), в колонке S ₃ - в классе 44 см (∑n = 28) и т.д.

По завершении накопления производится суммирование частот с проставлением итогов по всем колонкам. При этом числа нижней части таблицы считают положительнымии их сумму фиксируют в итоге со знаком плюс (+); сумму чисел верхней (отрицательной) части таблицы записывают в итоге со знаком минус (-).

На данном этапе полезно произвести проверку правильности накопления частот в столбцах, сравнив конечные значения накопленных частот с итогами суммирования.

Проверка колонки S ₁ достигается путем сложения трех чисел, непосредственно примыкающих к разделительной черте, с получением результата, равного численности вариационного ряда. В нашем примере

Кроме того производится проверка вычислений всех колонок верхней и нижней частей таблицы. С этой целью необходимо к максимальной накопленной частоте какой-либо колонки прибавить аналогичную частоту последующей колонки, в результате чего должна получиться сумма частот предыдущей колонки. Так, если в нижней части таблицы нашего примера сложить максимальную частоту колонки S ₂, равную 56, с подобной частотой предыдущей колонки 28, то полученная величина 84, совпадает с результатом суммирования накопленных частот в колонке S ₂ нижней части таблицы: + S ₂ = 84.

После проверки следует произвести по каждой колонке сложение итогов суммирования накопленных частот верхней части таблицы (- S ₁; - S ₂; - S ₃; - S ₄) с такими же итогами нижней части таблицы (+ S ₁; +S₂; +S₃;+S₄). Результаты сложения, выполненного с учетом знаков слагаемых чисел (алгебраическая сумма), обозначают символом с добавлением индекса, соответствующего номеру колонки: d₁; d₂; d₃; d₄. Результаты сложения, произведенного без учета знаков (арифметическая сумма), обозначают соответственно символами – S ₁; S ₂; S ₃; S ₄. Так, в нашем примере для колонки первого суммирования d ₁=30, S ₁=276; для колонки второго суммирования d ₂=-5, S ₂= 173 и т.д.

Все полученные значения d и S используются для определения величина начальных моментов по соответствующим формулам:

 

 

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

 

Получение центральных моментов(μ)основано на использовании отклонений (α) значений классов (W ) или отдельных вариант (V) от среднеарифметической величины (M) и может быть выполнено по следующим исходным формулам:

.

В случае получения отклонений по точному значению М, вычисленному без округлений, значение первого центрального момента будет равно нулю:

Если же значение М вычислено не точно или принято с округлением, то приведенная формула теряет смысл и величина μ ₁ приобретает конкретное значение. Так, в задании использовано приближенное значение среднеарифметической величины 31,4 вместо точного - 31,4231. В результате этого

Вышеприведенные исходные формулы для получения второго, третьего и четвертого центрального моментов в практике статистических вычислений обычно не используются в виду исключительной трудоемкости вычислительных работ. Значения перечисленных центральных моментов можно получить более просто, если использовать начальные моменты.

Для выполнения задания необходимо по данным вычисленных начальных моментов определить значения второго (μ₂), третьего (μ ₃) и четвертого (μ ₄) центральных моментов. В нашем примере:

 

μ ₂ =ν₂ – ν₁² = 2,99 – (-0,144)² = 2,99 – 0,0207 = 2,969 ≈ 2,97;

 

μ ₃=ν₃ –3 ν₂ ν₁+2 ν₁³ = 0 – 3×2,99×(-0,144) + 2×(-0,144)³ = -3 (-0,4306) + 2(-0,00299) = 1,292 – 0,00598 = 1,28602 ≈ 1,286;

 

μ ₄= ν₄– 4 ν₃ ν₁+6 ν₂ ν₁² – 3 ν₁⁴ = 25,08 – 4×0×(-0,144) + 6×2,99×(-0,144)²– 3(-0,144)⁴ = 25,08 – 0 + 17,94(0,0207) – 3(0,00043) = 25,08 + 0,371 – 0,00129 = 25,44911 ≈ 25,45.

 

Значения центральных моментов в качестве конкретных статистических показателей не используются и служат вспомогательной величиной для получения основных моментов.

ОСНОВНЫЕ МОМЕНТЫ

 

Основные моменты получают путем деления центральных на корень квадратный из второго центрального момента в степени порядка основного момента.

Поскольку и ,

то в нашем примере вычисляют только значения третьего и четвертого основных моментов

Полученные значения r ₃ и r ₄ имеют практическое значение, т.к. используются для оценки косости и крутости вариационных рядов.