.. . α β .. . 0.
: limx→x0 β()/α()=, =const ≠0, .. α β .. . , =1, .. limx→x0 β()/α()=1, α β .. α~β. =0, .. limx→x0 β()/α()=0, .. β .. , α. : β=(α) ( -). limx→x0 β()/α() , α() β()
( ..): .. α() β() . 0 ó .. , , α~β óβ-α=γ=α (uγ(=)β) -, α~βóβ=α+α.
-: α~β ó limx→x0 β()/α()=1 ó limx→x0 (β()/α()-1)=0 ó limx→x0 β()-α()/α()=0, . β-α=(α)
: α~α1 β~β1 .. . 0, limx→x0 α()/β()[0/0]=limx→x0 α1()/β1() .. .. ..
-: α/β=α/α1*β1/β*α1/β1. limx→x0 α()/β()= limx→x0 α()*β1()* α1()/ α1() *β()* β1()= limx→x0 α1()/β1() , .. .
.
.. .0=0
- sinx~x 6. ln(1+x)~x
- tgx~x 7. ax-1~xlna
- 1-cosx~1/2x2 70. ex-1~x
- arcsinx~x 8.(1+x)k-1~kx
- arctgx~x 9. ½ √1+x-1~1/2x
- sinα=α+o(α)
- tgα= α+o(α)
- cosx=1-1/2α2 +o(α)
- arcsinα= α+o(α)
- arctgα= α+o(α)
- ln(1+α)= α+o(α)
- eα=1+ α+o(α)
- (1+α)k=1+kα+o(α) α=α()- .. 0
-:
- limx→0sinx/x=1( .)
- limx→0 tgx/x=sinx/x*1/cosx=1
- limx→0 1-cosx/1/2 x2= limx→0 sin2 x/2/(x/2)2=12=1
- limx→0 arcsinx/x=[:arcsinx=t, x=sint,x→0ót→0]= limx→0 t/sint=1
- limx→0 arctg/x=
- limx→0 ln(1+x)/x= limx→0 1/x ln(1+x)= limx→0 ln(1+x)1/x=ln e=1 - = ln
- limx→0 ax-1/xlna[: ax-1=t, ax=1+t, xlna=ln(1+t),x→0ótγ0]= limx→0t/ ln(1+t=1
- limx→0.(1+x)k-1/kx= limx→0ekln(1+x)-1/kx= limx→0kln(1+x)/kx= limx→0ln(1+x)/x=1. b=elnb (1+)k 70 6.
|
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. . .
: - f(x) 0, limx→x0f(x)= f(x0). , 1) (Ǝ): () f(x0), . f(x) 0;2) .(Ǝ) limx→x0f(x); 3) limx→x0f(x)= f(x0), . 0.
: -0=Δ- , f(x) - f(x0)= -0= Δ- . →0, , Δ→0 .
: - f(x) 0, 0, 0, limΔ→x0Δ=0
: - f(x) 0, 0, 0 . - 1-3( 2). 2: .(Ǝ) limx→x0f(x)=, ≠ limx→x0f(x), f(x) . 0, - f(x) . 0, , f(x0)= limx→x0f(x), f(x) . 0. . 0 limx→x0f(x), 0 . : f(x)=2--2/-2 .0=2, .. 2--2=(-1)(-2), f(x)=+1 ≠2. , - =2, , f(x)=3, - =+1.
: 0 - f(x), , . .(Ǝ) limx→x0+0f(x) .(Ǝ) limx→x0-0f(x). . - h=f(x0+0)-f(x0-0). . h=0, 0- . : - =1/ .=0 . limx→x0+01/=+∞, limx→x0-01/=-∞, - h=∞. .