Случайный вектор. Ряд распределения. Совместный и частный законы распределения

Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов W заданы две случайные величины x и h, принимающие значения х_i (i = 1, 2,...) и у_j (j = 1, 2,...), соответственно. Упорядоченная пара (x,h) называется случайным вектором или двумерной случайной величиной. Совместный закон распределения вероятностей дискретных величин x и h задается вероятностями одновременного осуществления событий {x = х_i} и {h = у_j}:

и представляется в виде таблицы

 

x h	y1	y2	…	ym
x1			…
x2			…
…	…	…	…	…
xn			…

При этом .

Частным законом распределения случайной величины x называется вероятность события {x = х_i}. Если задан совместный закон распределения, то частный закон распределения для x можно получить с помощью формулы:

.

 

 

5. Совместная функция распределения нескольких случайных величин, её свойства (доказательства). Условия независимости случайных величин. Связь совместных и частных распеределений (всё как в дискретном, так и в абсолютно непрерывном случае)

 

Совместной функцией распределения случайных величин x и h и называется функция F(x,y)=P , т.е. вероятность попадания случайного вектора (x, h) в бесконечный угол на плоскости с вершиной в точке (x,y) лежащий ниже и левее этой точки (см. рис.), т.е. функция .

Свойства:

1. p (x,y) 0

2.

3. p(x,y) = F’’(x,y)

 

 

6. Математическое ожидание дискретной случайной величины и её свойства (доказательства).

 

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины x называется число

.

Если множество значений случайной величины x бесконечно (т.е. счетно), то математической ожидание определяется как бесконечный ряд

в случае, когда он абсолютно сходится. Если x – по-прежнему дискретная величина и j(х) — некоторая функция, то математическое ожидание величины

h = j(x) можно вычислить по формуле

при условии (в бесконечном случае), что ряд, стоящий справа, абсолютно сходится.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) МC= C (C – константа);

2) М(Cx) = CМx для любой константы C;

3) М(x+h) = Мx + Мh;

4) М(xh) = (Мx)(Мh), если x и h независимы.

 

7. Математическое ожидание непрерывной случайной величины и её свойства.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

 

Если возможные значения принадлежат всей оси , то

 

8. Дисперсия случайной величины и её свойства (доказательства).

 

Дисперсией случайной величины x называется число Dx=М(x-Мx)². Величина s= называется среднеквадратическим отклонением.

Из определения дисперсии вытекает формула для вычисления дисперсии дискретной случайной величины:

при условии абсолютной сходимости ряда. Однако чаще удобнее бывает вычислять дисперсию по другой формуле:

Dx=Мx²–(Мx)²

Для дисперсии справедливы следующие свойства.

1) DC=0 (дисперсия постоянной равна нулю);

2) D(Cx)=C²Dx;

3) D(x+C)=Dx.

4) Если случайные величины x и h независимы, то D(x+h)=Dx+Dh.