Центральная предельная теорема.Функция Лапласа

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

- одна из важнейших предельных теорем вероятностей теории, описывающая асимптотику при больших N распределения вероятностей суммы N случайных величин.

Наиб. просто Ц. п. т. формулируется для суммы

N первых членов бесконечной последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин

в предположении, что существуют, по крайней мере, два первых момента у каждой величины:

(и эти моменты одинаковы для всех n). Согласно наиб. простой предельной теореме теории вероятностей - больших чисел закону, случайная величина

с вероятностью, близкой к единице, принимает значения порядка o(N)при N . Более точно это означает, что для любого e>0 вероятность

при N Ц. п. т. значительно уточняет соотношение (5) при малых (по сравнению с N) значениях V_N: для любых конечных а и b вероятность того, что

имеет асимптотику

или, иначе говоря, вероятности конечных (порядка константы) значений величины V_N/ . (s² = = т ²₂ -т ²₁ - дисперсия x _n) распределены прибл. по стандартному нормальному гауссовскому закону (со средним 0 и дисперсией 1). Из (4) и (6) следует, что при больших N сумма S_N имеет вид

где x₀ -стандартная нормальная случайная величина. Утверждение (7) называют обычно Ц. п. т. в и н т е г р а л ьн о й ф о р м е. В нек-рых случаях удаётся установить не только асимптотику вероятности попадания значений V_N/ . на конечный интервал (а, b), но и асимптотику самих вероятностей этих значений (для случайных величин x _n с дискретным множеством значений) или асимптотику плотности их вероятностей р _N (х)(для непрерывно распределённых x _n):

Утверждения этого типа [более тонкие, чем (7)] наз. л ок а л ь н ы м и Ц. п. т. Следует подчеркнуть, что асимптотика (7) или (9) имеет смысл для конечных (порядка 1) значений V_N/ . Вероятности значений V_N/ . порядка, растущего с N, a именно порядка N ^a. для a>0, описываются асимптотикой (7) очень грубо и нуждаются в более тонком оценивании. Соответствующие предельные теоремы в теории вероятностей наз. теоремами о больших отклонениях.

Условия (3) очень существенны. Предельная асимптотика для сумм вида (1), где x _n не имеют второго (а также первого) момента, задаётся совершенно другими (отличными от нормального распределения) законами, т. н. устойчивыми распределениями.

Укажем более общие ситуации, для к-рых остаётся верной Ц. п. т. (7) (или 9):

- в случае, когда величины x₁, x₂,..., x _n,... распределены не одинаково, и при условии, что у этих величин существуют оба первых момента (3), а также при дополнит. условии нек-рой равномерности (условие Линдеберга, см. [1]);

- если требование независимости величин x _i, i =1, 2,... нарушено, но сохраняется в определ. смысле "слабая" зависимость "далеко отстоящих" друг от друга величин x _i и x _j, когда | i-j| - велико (более точно см. [2]);

- можно рассматривать не только последовательности случайных величин, но и более общие их совокупности, скажем, случайные поля {x _t, t Z ^v на v -мерной решётке. Пусть выполнены условия (3) и величины x _t и x _s, t, s Z ^v, при больших | t - s| "слабо зависимы". Тогда для любого достаточно большого и "регулярного" конечного множества L Z ^v суммы

асимптотически имеют вид:

s_t² - дисперсия x _t (см. [3]);

- кроме сумм величин из одной и той же бесконечной последовательности (2) можно рассматривать т. н. схему серий, т. е. бесконечную совокупность конечных последовательностей:

растущей длины, n_s , s . Тогда для суммы

при определ. условиях также верна Ц. п. т.

Функция Лапласа

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Тогда

Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Ниже показан график функции Лапласа.

 

 

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(- х) = - Ф(х);

3) Ф(¥) = 1.

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.

Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

Ниже показан график нормированной функции Лапласа.