Страховые и актуарные расчеты

Задача 1.10. Ущерб от возможного пожара в магазине моделируется с.в. Y с плотностью:

Если ущерб от пожара больше 8, чему равна вероятность того, что ущерб больше 16?

 

Задача 1.12. Время от момента приобретения оборудования до момента его отказа имеет экспоненциальное распределение со средним 10 лет. Владелец оборудования решил застраховать его на случай раннего отказа. По условиям договора страховая компания выплачивает определенную страховую сумму х в случае отказа в течение первого года эксплуатации, 0.5 х – в случае отказа в течение второго или третьего года эксплуатации и не платит ничего, если оборудование проработало без отказа три года.

Известно, что ожидаемые выплаты страховой компании по этому договору составляют 1000 у.е. Найдите размер страховой суммы х.

 

Задача 1.13. В небольшом приморском городе годовые потери от штормов, пожаров и хищений имущества являются независимыми экспоненц. распределенными с.в. со средними 1, 1.5 и 2.4 соответственно.

Найдите вероятность того, что максимальный из этих ущербов будет больше, чем 3.

Задача 1.14. Размер ущерба (в тысячах долларов), причинённого жилым домам ураганным ветром, моделируется независимыми с.в. с плотностью

Предложим, что было заявлено три таких страховых случая. Чему равно среднее значение наибольшего из них? При решении задачи используйте следующее выражение

где U = max {U₁,U₂,U₃}.

Задача 1.15. Страховая компания изучает страховые случаи, вызванные торнадо, по договорам страхования ферм. Пусть X – доля ущерба, связанная с повреждением дома, а Y – доля ущерба, связанная с повреждением другого имущества. Совместное распределение случайных величин X и Y имеет плотность

Определите вероятность того, что ущерб, причиненный дому, составляет менее 20% от величины общего ущерба.

 

Задача 1.16. Пусть X –суммарная годовая премия, собранная страховой компанией, а Y –общий размер страховых возмещений, выплаченных в течение этого года. Отношение r = Y / X часто используется в качестве простейшей характеристики успешности ведения страхового бизнеса в течение данного года.

Допустим, что X и Y являются независимыми случайными величинами, распределёнными по экспоненциальному закону со средними 2 и 1 соответственно.

Найдите среднее значение величины r.

 

Задача 1.20. Для того чтобы покрыть потери Z, которые равномерно распределены на отрезке [0,1000], рассматривается вопрос о заключении договора страхования. Чтобы уменьшить премию, страховая компания предложила страхователю заключить договор страхования чрезмерных потерь, в соответствии с которым страхователь самостоятельно покрывает потери вплоть до некоторого предела d, а остаток оплачивает страховщик. Иначе говоря, страховщик оплачивает потери за вычетом суммы d (и не платит ничего, если потери меньше d). На каком уровне нужно установить вычет d, чтобы средняя тяжесть страхового случая снизилась в 4 раза?

 

Задача 1.21. Компания продает договоры страхования автомобилей на один год с простым вычетом d =2. Вероятность того, что договор приведет к страховому случаю, равна q = 0.05 (по одному договору за время его действия возможен только один страховой случай). Размер потерь после наступления страхового случая, Y, имеет распределение вида

где К – некоторая константа. Определите нетто-премию для этого договора.

 

Задача 1.23. Вероятность аварии в течение года для определенной марки автомобиля равна q =10%, а величина ущерба после аварии, Y, имеет распределение Парето со средним значением m = 500 руб. и коэффициентом вариации . В соответствии с условиями договора, если ущерб меньше чем d =100руб., то страховая компания его не покрывает; если же ущерб превышает 100 руб., то страховая компания оплачивает лишь ту его часть, которая превышает предел 100 руб. Подсчитайте вероятность того, что убыток будет заявлен, и определите распределение величины страхового возмещения. Как повлияло введение вычет на размер нетто-премии по этому договору?

 

Задача 1.24. Размер ущерба после наступления страхового случая (в тысячах) моделируется случайной величиной Y с плотностью

f (y)= y exp(– y), y > 0.

В наступающем году страховщик ожидает N = 100 страховых случаев. Как изменится эта величина, если страховщик введет простой вычет d = 1 (тыс.)?

 

Задача 1.25. Вероятность аварии в течение года для определенной марки автомобиля равна q =10%, а величина ущерба после аварии, Y, имеет распределение Парето со средним значением m = 500 руб. и коэффициентом вариации . Для защиты от этого риска был заключен договор страхования чрезмерных потерь с возвращаемым вычетом (англ. franchise deductible) в размере d = 100 руб., то страховая компания его не покрывает; если же ущерб превышает 100 руб., то страховая компания полностью его оплачивает. Подсчитайте нетто-премию.

 

Задача 1.29. Предприятие покупает годовой страховой полис для того, чтобы застраховать свой доход в случае плохой погоды, которая вынуждает временно прекратить работу. В течение года число случаев ухудшения погоды, приводящих к прекращению работы предприятия, имеет распределение Пуассона со средним 1.5. В соответствии с условиями договора страховщик не платит ничего в первом случае такого ухудшения погоды, но выплачивает 10 000 за каждое последующее ухудшение погоды. Чему равны ожидаемые выплаты страховщика по такому договору?

 

Задача 1.30. Актуарий провел исследование величины ущерба после аварии по договорам автомобильного страхования и установил, что эта величина имеет экспоненциальное распределение, а вероятность того, что ущерб меньше, чем 1000, равно 0.25. Спустя 10 лет частота аварий и их характер не изменились, но из-за инфляции ущерб после аварии вырос в два раза по сравнению с ущербом после аналогичной аварии десять лет назад. Подсчитайте вероятность того, что в настоящее время ущерб после аварии меньше, чем 1000.

 

Задача 1.32. Предположим, что величина ущерба при пожаре (при условии, что он произошел) имеет экспоненциальное распределение со средним значением m = 2000 руб. Страховая компания установила верхний предел своей ответственности L = 5000 руб. (иными словами, если потери страхователя меньше, чем L, то компания полностью возмещает их; если же потери превышают уровень L, то компания возмещает только сумму L). Подсчитайте средний размер реальных выплат компании по одному страховому случаю.

 

Задача 1.33. Страховая компания возмещает стоматологические расходы Y вплоть до максимального уровня 250. Плотность с.в. Y есть

где с – константа. Подсчитайте медиану распределения величины страхового возмещения.

 

Задача 1.34. Распределение тяжести страхового случая по договорам страхования гражданской ответственности владельцев автотранспортных средств имеет распределение

Ответственность страховщика по возмещению убытков ограничена суммой 1000 (по каждому страховому случаю). Найдите средний размер страхового возмещения по одному страховому случаю.

 

Задача 2.1. В некотором городе каждую неделю происходит 7 автомобильных катастроф. Предположим, что каждая отдельная катастрофа с равной вероятностью может произойти в любой день недели и дни, в которые происходят катастрофы – независимы. Неделю, в которую катастрофы равномерно распределены по дням недели (т.е. в день происходит ровно одна катастрофа), назовем "обычной", а неделю, которая содержит дни, в которые произошло не менее двух катастроф, назовем "катастрофической". Найдите среднее число "обычных" и "катастрофических" недель в течение трех лет.

 

Задача 2.2. Число страховых случаев за один месяц моделируется с.в. u с распределением

Найдите вероятность того, что за месяц произойдет хотя бы один страховой случай, если известно, что число страховых случаев за месяц не превосходит 4.

 

Задача 2.8. Актуарий изучал вероятность попадания в аварию хотя бы 1 раз в год для различных возрастных категорий водителей. Результаты см. в таблице:

 

Номер группы	Возраст водителя (года)	Доля среди всех водителей, %	Вер-ть хотя бы 1 аварии в год
	до 25 26–30 31–50 старше 50		0.15 0.08 0.04 0.05
	Всего	100%

При условии, что водитель попал в аварию хотя бы 1 раз на протяжении года, определите, чему равна вероятность того, что водителю от 26 до 30 лет.

 

Задача 2.9. Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года равна 0.01. Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0.05. Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?

 

Задача 3.6. Общая величина выплат по договору медицинского страхования имеет плотность

Премия за этот продукт установлена на уровне, превышающем на 100 ожидаемые выплаты. Если продано 100 договоров, какова приблизительно вероятность того, что потери страховой компании будут превышать собранные премии?

 

Задача 3.7. Предположим, что в компании застраховано N =3000 человек с вероятностью смерти в течение года q =0.3%.Компания выплачивает сумму b =250000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года. Определите суммарную премию, достаточную, чтобы обеспечить вероятность разорения порядка 5%.

 

Задача 4.1. Суммарные потери задаются формулой где

1) с равной вероятностью принимает только три значения 0, 1 и 2;

2) каждая величина имеет экспоненциальное распределение со средним 0.5;

3) взаимно независимы.

Определите .

 

Задача 4.2. Для размера суммарных потерь в модели коллективного риска известно, что:

1) имеет биномиальное распределение с числом "испытаний" N = 5 и вероятностью "успеха" p = 0.1;

2) каждая из величин имеет распределение ;

3) взаимно независимы.

Определите , где – производящая функция моментов суммарных потерь.

Задача 4.4. В модели коллективного риска распределение суммарных потерь характеризуется следующими данными:

1) распределение числа страховых случаев

2) плотность распределения величины страхового возмещения есть:

Определите дисперсию распределения суммарных потерь.

 

Задача 4.5. Распределение общих потерь имеет следующие параметры:

1) распределение числа страховых случаев: Р (u = 0) = 0.5, Р (u = 1) = 0.3, Р (u = 2) = 0.2;

2) распределение размера индивидуальных потерь:: Р (Y = 1) = 0.8, Р (Y = 4)= 0.2.

Подсчитайте вероятность того, что суммарные потери превысят свое среднее более чем в два раза.

 

Задача 4.22. Для некоторого вида договоров относительно числа страховых случаев в течение года по одному договору, , известно, что

Пусть Х – суммарное страховое возмещение за один год по одному договору. Если u =1, то Х имеет экспоненциальное распределение со средним 5, а если u > 1, то Х имеет экспоненц. р-е со средним 8. Найдите P(4 < X < 8).

Задача 4.23. Для договора медицинского страхования страховые случаи, связанные с обычными заболеваниями и стоматологическими проблемами, описываются независимыми составными распределениями Пуассона с характеристиками, приведенными в таблице.

 

Характер заболевания	Распределение величины медицинских расходов	l
Обычное Стоматологическое	Равномерное на (0,1000) Равномерное на (0,200)

 

По условиям договора, если медицинские расходы по некоторому страховому случаю меньше, чем 100, то их полностью оплачивает застрахованный. Если же эти расходы больше, чем 100, то застрахованный оплачивает первые 100, а страховая компания оплачивает оставшуюся часть. Подсчитайте среднее значение одного страхового возмещения.

 

Задача 4.25. Портфель договоров страховой компании, занимающейся страхованием автомобилей, можно разбить на две группы. Для каждой группы размер страхового возмещения после наступления страхового случая равномерно распределен на некотором интервале (a,b). Характеристики групп следующие:

Группа	Число договоров в группе	Вероятность наступления страхового случая	Параметры
a	b
		a 0.1

 

Распределение суммарных потерь в каждой группе приближено с помощью составного пуассоновского распределения; при этом ожидаемое число страховых случаев, а также распределение размера страхового возмещения после наступления страхового случая в исходной модели индивидуального риска и в аппроксимирующей модели коллективного риска одно и то же.

Использование аппроксимирующей модели дает для вероятности того, что размер страхового возмещения лежит на интервале (1000, 2000), значение 0.32. Определите значение параметра a.

 

Задача 4.26. Портфель страховщика состоит из независимых рисков, не обладающих последействием. Эти риски можно разбить на два однородных класса: А и В; в классе А в два раза больше рисков, чем в классе В.

Среднее число страховых случаев в течение года для одного риска из класса А и В равно соответственно 0.22 и 0.11. В течение года по каждому риску сожет наступить только один страховой случай.

Статистические свойства распределения ущерба после наступления страхового случая следующие:

Размер ущерба	Вероятность
класс А	класс В
	0.6 0.4	0.36 0.64

Суммарный убыток за два года по наудачу выбранному риску составил 100000. Найдите вероятность того, что этот риск принадлежит классу А.

 

Задача 4.28. С.в. S ₁ имеет составное пуассоновское распределение с параметром l₁ = 4 и следующим распределением слагаемых С.в. S ₂ имеет составное пуассоновское распределение с параметром l₂ = 2и следующим распределением слагаемых

С.в. S ₁ и S ₂ – независимы. Подсчитайте вероятность того, что равняется 4.

Задача 4.24. Число страховых случаев за определенный промежуток времени имеет распределение Пуассона со средним 3000. Страховые случаи бывают двух видов; вероятность того, что страховой случай имеет тип 1 равна 1/3, а размер ущерба после наступления страхового случая первого типа равен 10.

Найдите дисперсию суммарных потерь, связанных со страховыми случаями второго типа, если дисперсия суммарных потерь равна 2 100 000. Вид конкретного страхового случая не зависит от вида других страховых случаев, числа страховых случаев и размера индивидуальных потерь.

 

Задача 4.29. Страховщик получил уведомления о наступлении 100 страховых случаев двух видов. Информация о заявленных убытках следующая:

Тип страхового случая	Число страховых случаев	Среднее значение страхового возмещения	Дисперсия страхового возмещения
	n 100-n

С.в. n имеет биномиальное распределение с параметрами N = 100 и р =0.5. Индивидуальные потери и n взаимно независимы. Определите дисперсию величины суммарных потерь.

 

Задача 4.12. Распределение числа страховых случаев за анализируемый период описывается геометрическим законом со средним 9, т.е. а убытки после наступления страхового случая имеют экспоненц. распределение со средним 1, т.е.

Определите зависимость вероятности разорения от величины активов компании.

Задача 4.10. Грузчики на электроламповом заводе иногда роняют ящики с готовой продукцией. Статистические данные о потерях при погрузке в течение одного месяца см. в таблице.

Среднее число разбитых ящиков
Дисперсия числа разбитых ящиков
Средняя стоимость разбитых ламп в одном ящике
Дисперсия стоимости разбитых ламп в одном ящике

Если общие потери за месяц не превышают 8000, бригада грузчиков получает премию.

Используя гауссовское приближение, подсчитайте вероятность того, что грузчики получат премию.