Теорема о свойствах функции распределения

Теорема 20. Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

(F1)

она не убывает: если , то ;

(F2)

cуществуют пределы и ;

(F3)

она в любой точке непрерывна слева:

Доказательство свойства (F1). Для любых чисел событие влечёт событие , т.е. . Но вероятность — монотонная функция событий, поэтому

QED

Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры.

Доказательство свойства (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции . Остается лишь доказать равенства

, и .

Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности , так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов.

Докажем, что при . Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий :

Пересечение всех этих событий состоит из тех и только тех , для которых меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода значение вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий не содержит элементарных исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры, при .

Точно так же докажем остальные свойства.

Покажем, что при , т.е. . Обозначим через событие . События вложены:

а пересечение этих событий снова пусто — оно означает, что больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, при .

Доказательство свойства (F3). Достаточно доказать, что при . Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности:

 

11. Биномиальное распределение. Его числовые характеристики.

Биномиальное распределение B(n,p) - это распределение числа успехов в серии из n экспериментов, каждый из которых завершается успехом с вероятностью p.

Если X - биномиальная случайная величина, то

Числовые характеристики:

 

12. Распределение Пуассона. Его числовые характеристики.

 

Рассмотрим дискретную СВ X, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2,...,m, причем последовательность этих значении теоретически не ограничена.

СВ X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m,выражается формулой:

где а — некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Последовательность вероятностей, задаваемая формулой (5.8), представляет собой ряд распределения, т. е. сумма всех вероятностей Рm равна единице и имеет вид:

Xm				…	m	…
Pm	e-a			…		…

Зададим параметру а некоторые численные значения и определим вероятности Рm для различных значений т по формуле (5.8). В результате этих действии получим данные рядов распределения. На их основе построены многоугольники распределения СВ X, распределенной по закону Пуассона (рисунок 5.1).

Из рисунка 5.1 видно, что в зависимости от параметра а многоугольники распределения имеют существенные различия и по форме похожи на другие известные законы распределения СВ.

Числовые характеристики:

1) математическое ожидание:

2) дисперсия, которая тоже равна параметру а, т. е. Дх = а.

13. Геометрическое распределение. Его числовые характеристики.

 

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (О < р < 1) и, следовательно, вероятность его не появления q = 1 - р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А (т.е. количество испытаний неограниченно). Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k— 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X дискретную случайную величину - число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа: 1, 2, 3…

Пусть в первых k— 1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,

Полагая k= 1, 2,... в формуле, получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q

По этой причине распределение называют геометрическим.

Числовые характеристики геометрического распределения:

 

14. Теорема свойства плотности.

Теорема 17. Плотность распределения обладает свойствами:

(f1) для любого ; (f2) .

Доказательство. (f1) выполнено по определению плотности, (f2) также следует из определения:

QED

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Теорема 18. Если функция обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина на нём, для которой является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции . Площадь области равна единице по свойству (f2). Пусть — множество борелевских подмножеств , а — мера Лебега (площадь) на множествах из . И пусть случайная величина есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.

Тогда для любого выполнено:

(10)

Здесь область есть криволинейная трапеция под графиком плотности, с основанием . По определению, равенство (10) означает, что функция является плотностью распределения случайной величины .

15. Равномерное распределение. Числовые характеристики.

16. Показательное распределение. Числовые характеристики.

17. Нормальное распределение. Числовые характеристики.

18. Теорема о свойствах двумерной функции распределения.

19. Двумерная дискретная СВ, ее распределение.

20. Теорема о свойствах двумерной плотности.

21. Критерии независимости непрерывных СВ.

22. Критерии независимости дискретной СВ.

23. Дисперсия суммы СВ.

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

 

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

 

 

24. Формула для вычисления ковариации.

25. Свойства ковариации. Свойства коэффициента корреляции.

Свойства ковариации:

• Ковариация двух независимых случайных величин и равна нулю^[8].

Доказательство

Так как и — независимые случайные величины, то и их отклонения и также независимы. Пользуясь тем, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей, а математическое ожидание отклонения равно нулю, имеем

• Абсолютная величина ковариации двух случайных величин и не превышает среднего геометрического их дисперсий: ^[9].

Доказательство

Введём в рассмотрение случайную величину (где —среднеквадратическое отклонение) и найдём её дисперсию . Выполнив выкладки получим:

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

Отсюда

Введя случайную величину , аналогично

Объединив полученные неравенства имеем

Или

Итак,

 

Коэффициент корреляции обладает свойствами:

1)

если и независимы, то ;

2)

всегда ;

3)

тогда и только тогда, когда и п. н. линейно связаны, т.е. существуют числа и такие, что .

Доказательство.

1)

Свойство (1) мы уже много раз (сколько?) упоминали и один раз доказали. Более того, при рассмотрении свойств математического ожидания мы привели примеры 34 и 35 — два из многих возможных примеров того, что свойство (1) в обратную сторону неверно.

2)

Обозначим через и дисперсии и соответственно, и рассмотрим неотрицательную (почему?) дисперсию любой из двух случайных величин :

Мы получили два полезных соотношения:

(20)

Из них сразу следует, что .

3)

В одну сторону утверждение проверяется непосредственно:

Упражнение 50. Воспользоваться свойствами математического ожидания и дисперсии и доказать, что

Не забудьте, что , а не просто !

Докажем вторую часть свойства (3): если , то существуют числа и такие, что .

Рассмотрим сначала случай . Это возможно только если второе неравенство в формуле (20) превращается в равенство:

т.е. . Тогда, по свойству (D3), п.н., где — некоторое число. Иначе говоря, п.н., или

В случае нужно рассмотреть первое неравенство в формуле (20) и повторить рассуждения. Тем самым теорема 31доказана.