Краткие теоретические сведения. Численные методы 1. Метод начальных параметров

Численные методы 1. Метод начальных параметров

Краткие теоретические сведения

В методе начальных параметров краевую задачу для системы дифференциальных уравнений пытаются заменить задачей Коши. При этом предполагается, что в распоряжении расчётчика имеется программное обеспечение для решения начальной задачи для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим метод начальных параметров для решения нормальной системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка

. (11.1)

Если эта система дополнена начальными условиями y (x ₁)= y ₁, то её можно решить с помощью стандартного программного обеспечения, например, методов Рунге-Кутта. Рассмотрим случай, когда эта система дополнена граничными условиями: часть координат вектора y задана на левом конце x ₁, а часть – на правом x ₂. Пусть, для определённости, на правом конце заданы m первых координат вектора y, а на левом конце – n - m последних. Этого всегда можно добиться перенумерацией переменных. Если бы нам удалось найти недостающие координаты y на левом конце, то можно было бы решить начальную задачу. Будем рассматривать m недостающих координат y в начальной точке x ₁ как неизвестные t ₁, t ₂,…, t_m. Для их нахождения имеется m уравнений – граничные условия на правом конце x ₂. Таким образом, задача нахождения неизвестных начальных условий сводится к решению системы из m в общем случае нелинейных уравнений.

Рис. 11.1. Геометрическая интерпретация метода начальных параметров

 

Если n =2, а m =1, то геометрическая интерпретация метода начальных параметров показана на рис.11.1. Задавая различные значения для недостающего начального условия y ¢(x ₁), будем получать различные y (x ₂). Чтобы получить нужное значение y ₂, нужно угадать угол наклона экстремали в начальной точке. Это напоминает процесс стрельбы из артиллерийского орудия. Поэтому метод начальных параметров называется также методом стрельбы.

Если исходная система дифференциальных уравнений (11.1) линейная (даже с переменными коэффициентами), то вектор решений в любой точке y (x ₂) также будет линейно зависеть от начальных условий:

. (11.2)

Оставим в системе (11.2) только m первых строк, соответствующих граничным условиям при x = x ₂, и только m первых столбцов, соответствующих неизвестным начальным параметрам:

(11.3)

Для нахождения компонентов матрицы A и координат вектора b нужно решить начальную задачу m +1 раз с такими вариантами неизвестных начальных условий:

t ={1,0,…,0} – для формирования { a ₁₁+ b ₁, a ₂₁+ b ₂,…, a_{m 1}+ b_m };

t ={0,1,…,0} – для формирования { a ₁₂+ b ₁, a ₂₂+ b ₂,…, a_{m 2}+ b_m };

…

t ={0,0,…,1} – для формирования { a _{1 m} + b ₁, a _{2 m} + b ₂,…, a_mm + b_m };

а также

t ={0,0,…,0} – для формирования { b ₁, b ₂,…, b_m }.

Поэтому метод начальных параметров называют также методом матричной прогонки.

Если n =2, а m =1, то геометрическая интерпретация метода начальных параметров показана на рис.11.1. Задавая различные значения для недостающего начального условия y ¢(x ₁), будем получать различные y (x ₂). Чтобы получить нужное значение y ₂, нужно угадать угол наклона экстремали в начальной точке. Это напоминает процесс стрельбы из артиллерийского орудия. Поэтому метод начальных параметров называется также методом стрельбы.