Векторы, координаты вектора, длина вектора

Определение матрицы

-таблица чисел, записанная в виде

А₁₁ А₁₂ А₁₃ А_1n

А= А₂₁ А₂₂ А₂₃ А_2n

А_m1 А_m2 А_m3 А_{nm m*n}

Обозначается А=(а i J). Где а i J- элементы матрицы. I- указывает на номер строки, j- номер столбца.

 

Свойства матриц

1- сумма двух матриц

Суммой двух матриц А=(а i J) и В=(в i J) с одинаковым числом строк (m) и столбцов (n), называется новая матрица С=(с i J)., элементы которой определяются равенством

С (i J)=а i J+в i J причем С=(с i J) m*n, т.е. того же размера что и матрица А и В.Сумма двух матриц обозначается А+В=С

 

Аналогично определяется разность 2-х матриц

2- Умножение матрицы на число – чтобы умножить матрицу А=(а i J), на число λ, нужно умножить на это число все элементы матрицы

: λ А= λ (а i J)= (λ а i J)

3- Умножение 2-х матриц

Произведение матрицы А=(а i J) m*n и В=(в i J) k*n называется матрица С= (с i J)m*n у которой все элементы С i J = сумме произведений элементов i-той строки и матрицы А и j-ого столбца матрицы В

4- (А+В)*С= А*С +В*С

5- С(А+В) = С*А +С*В

6- А* (В*С)= (А*В)*С

7- (А+В) +С= А+ (В+С)

 

Определители матрицы и их вычисления

 

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц

Если А квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица обозначаемая А^-1 удовлетворяющей условию А*А^-1=А^-1*А =Е

 

Системы m линейных уравнений с n переменн

(фигурная скобка)

а _{11 *} х₁₊ а ₁₂* х₂ +…..+ а _1n* х_n= в ₁

а₂₁ *х1+а₂₂* х₂+….+а2n*xn=в₂

…….

a_m1*x₁ +a_m2*x₂+….+a_mn*x_n= в_m

 

х₁,х₂, …, х_n- неизвестные величины

а_ij- числа, называемые коэф. Системы

в₁, в₂,…, в _n- числа называемые свободными членами.

 

№6 решение системы уравнений методом Крамера.

На практике используют формулы крамера,для решения систем уравнеий: Хi=Ai/|A| где (i= 1,2,…..n) эти формулы позволяют max неизвестные в виде дроби,знаменателем которых явл. Определитель матрицы системы,а числитель определитель матрицы ai, получили из А заменой столбца коэффициентов, при вычисляемом неизвестном,столбцов свободных членов.

№7 решение системы уравнений матричным методом.

Существует обратная матрица А^-1_. Умножив левую и правую части записи системы в матричной форме (А*Х=B) слева на А^-1,_,получен А^-1(А*Х)=А^-1B= (A^-1*A)*X = A^-1*B=E*X=A^-1*B,а матрица умножается на единичную, получили X=A^-1*B эта формула дает способ решения системы линейных уравнений,требующей отыскания, обратной матрицы и поэтому наз. Матричной.

№8 решение системы уравнений методом Гаусса.

Две системы содержащие одинаковое число неизвестных,наз. Равносильными,если они имеют равные множества решений. Алгоритм метода Гаусса!!!

1)среди коэф.системы выбирается любой отличный от 0 (обозн.его а pq)и назовем разрешающим элементом; p-тое уравнение наз. Разрешающим уравнением,q-тый столбец разрешающий столбец. Разрешающий элемент можно выбирать в тех уравнениях,кот.еще не были разрешающими.

2)разрешающее уравнение делится на разрешающий элемент в следствии чего разрешающий элемент =1.

3)путем послед. Умножения разрешающего уравнения на элементы разрешающего столбца, взятые с обратным знаком,и и последовательного почленного умножения p-ого уравнения со всеми(кроме самого p-ого)уравнениями системы, неизвестное Xq исключается из всех остальных уравнений системы в самом результате p –ом уравнении неизвестное Xq остается с коэф.= 1.

4)если в истеме есть ур-ие вида 0*х1+0*х2+…..0*хn=b. перейти к пункту 9.

5)если в системе есть ур-ие вида 0*х1+0*х2+…..0*хn=0,то оно исключается из системы.

6)если в системе есть уравнение кот.еще не были разрешающими,то перейти к пункту 1.

7)если число оставшихся в системе ур-ий (r)= числу неизвестных (n) Т.Е.r=n,то система после принимает вид ее ур-ие. Х1=В1

Х2=В2

………..

Хn=Вn система определена. Ее единств. Решением будет (В1,В2,В3,…..Вn) перейти к пункту 9.

8)если r<n,то система неопределенна и имеет бесконечное множество решений.перейти к пункту 9.

9) конец

векторы, координаты вектора, длина вектора.

А(x1,y1,z1); B(x2,y2,z2)

Координаты вектора АВ определяются: вектор АВ=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

Длина вектора -расстояние между началом и концом вектора. Обозначается вектор |AB| или |a|.

Если вектор а имеет координаты (x,y,z),то его длина определяется по формуле: вектор |a|= корень квадратный из x в квадрате, плюс y в квадрате, плюс z в квадрате.

длина нулевого вектора равна 0. Если длина вектора равна 1,то вектор называется единичный.

Действия над векторами.

Суммой вектора а и вектор в, называется вектор а+в, который идёт из начла вектора а в конец вектора в, при условии что вектор в приложен к концу вектора а.

Два вектора называются противоположными если их сумма равна нулевому вектору.

Разностью вектора а и вектора в называют вектор а-в, который представляет собой сумму вектора а и противоположный вектор (-в)

а-в=а+(-в) (сверху поставить чёрточку-вектор)

11 коллинеарность и перпендикулярность векторов, угол между ….

Два вектора называются коллинеарными если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Эти векторы могут быть направлены как одинаково так и противоположно.

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

А(x1,y1,z1); B(x2,y2,z2)

x2*x1+y2*y1+z2*z1=0

Условия коллинеарности и перпендикулярности:

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

12.Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Уравнение прямой L, проходящей через точку Мо (Хо; Уо) и перпендикулярной вектору n (А;В) имеет вид L А(Х-Хо) + В(У-Уо) = 0.
Замечание: Не нулевой вектор перпендикулярный данной прямой называется вектором нормали прямой.

13. Общее уравнение прямой.

Уравнение Ах + Ву + С = 0, при условии, что А2(в квадрате) + В2(в квадр.) не равно нулю (т. е. хотя бы одно из чисел А или В отлично от нуля) называется общим уравнением прямой. Таким образом каждой прямой соответствует уравнение первой степени с переменными Х и У:
1) Каждая прямая задается уравнением первой степени Ах+Ву+С=0, где хотя бы один их коэффициентов А или В отличен от нуля;
2) Каждое уравнение вида Ах+Ву+С=0, где хотя бы один коэф. А или В отличен от нуля, определяет прямую линию.
Замечание: Коэф. А и В в уравнении Ах+Ву+С=0 прямой явл. Координатами вектора нормали этой прямой.

14.Уравнение прямой, проходящей через данную точку пара….

Уравнение прямой L, проходящей через точку Мо (Хо; Уо) и \\ вектору а (р; q) имеет вид
L: Х-Хо = У-Уо;
р q
Замечание: Не нулевой вектор \\ данной прямой называется направляющим вектором прямой.