Достаточное условие интегрируемости

Определение неопределенного интеграла.

Если F(x)-первообразная для f(x), то выражение F(x)+C, где С-произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от ф-цииf(x).(⌠f(x)dx=F(x)+C)

Таблица основных интегралов

1) ∫dx=x+C

2) ∫x^adx=(x^a+1)/(a+1)+C

3) ∫dx/x=ln|x| +C

4) ∫a^xdx=(a^x/lna)+C

5) ∫cosx=sinx + C

6) ∫sinx=-cosx + C

7) ∫dx/cos²x=tgx+C

8) ∫dx/sin²x= -ctgx + C

9) ∫dx/(√a²+x²)=(arcsinx/a)+C

10) ∫dx/(a²+x²)=(1/a)arctg(x/a) + C

11) ∫dx/(x²-a²)=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C

12) ∫dx/√(x²+K)=ln|x+√(x²+K)|+C

5. Формула замены переменной в неопределенном интеграле. Пусть ф-цияx=ѱ(t) определена и дифференцируема на промежутке T иX-множество ее значений, на котором определена ф-цияf(x). Тогда если F(x)-первообразная для f(x) на X, то F(ѱ(t))-первообразная для f(ѱ(t)) ѱ’(t)на T, т.е. на множестве T выполняется равенство: ⌠f(x)dx│_x=ѱ(t)=⌠f(ѱ(t)) ѱ’(t)dt

6. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пусть u(x) и v(x)-две дифференцируемые ф-ции на промежутке X. Тогда на X выполняется формула интегрирования по частям: ⌠udv=uv-⌠vdu

Интеграла Римана.

Ф-цияy=f(x), ограниченная на отрезке [a,b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a,b]. Если ф-цияy=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом ф-цииy=f(x) по отрезку [a,b] и обозначают следующим образом: I=⌠^b_af(x)dx

Достаточное условие интегрируемости.

Для того, чтобы ф-цияy=f(x), определенная и ограниченная на отрезке[a,b], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого e>0, существовало разбиение T, такое, что S_T-s_T<e

9. Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции ограниченной линиями x=a,x=b при b>a, осью Ох и графиком неотрицательной непрерывной ф-цииy=f(x)

11. Формула Ньютона - Лейбница. Пусть ф-цияy=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x)-первообразная для f(x). Тогда ⌠^b_af(x)dx=F(b)-F(a)

12.Формула замены переменной в определенном интеграле. Пусть ф-цияy=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а ф-ция х=ѱ(t) определена на отрезке[α,β]и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем ѱ(α)=a, ѱ(β)=bи ѱ([α,β])=[a,b]. Тогда ⌠^b_af(x)=⌠^β_αf(ѱ(t)) ѱ’(t)dt

13. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.⌠ ^b_audv=uv│^b_a-⌠^b_avdu

14. Определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом. Пусть ф-цияy=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл ⌠^+∞_af(x)dx принимают предел ф-цииI(b)= ⌠^b_af(x)dx, когда b стремится к бесконечности:⌠^+∞_af(x)dx=lim⌠^b_af(x)dx (bк +∞)

15. Определение несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом. Пусть ф-цияy=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл ⌠^b_-∞f(x)dx принимают предел ф-цииI(a)= ⌠^b_af(x)dx, когда a стремится к бесконечности:⌠^b_-∞f(x)dx=lim⌠^b_af(x)dx (aк -∞)

18.Расстояние в . Свойства расстояния. В R¹:расстояние между точками x₁иx₂ равно │x₁ –x₂│

R²:P(x₁,y₁) иQ(x₂,y₂), то ρ(P,Q)=√(y₁ - x₁)²+(y₂ –x₂)²)

R³: P(x₁,y₁,z₁) иQ(x₂,y₂,z₂), тоρ(P,Q)=√(x₁ –x₂)²+(y₁– y₂)²+((z₁– z₂)²)

Rⁿ: ρ(p,q)=│p-q│=√(x’₁ –x’’₁)²+…+(x’_n– x’’_n)²)

Свойства:

1.1. Ρ(p,q)>0, если p≠qи ρ(p,p)=0

1.2. Ρ(p,q)=Ρ(q,p)

1.3. Ρ(p,q)+Ρ(q,r)≥ Ρ(p,r)

19. Окрестность точки в . Пусть p₀- точка в Rⁿи е-положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса е с центром p₀называется множество всех точек, расстояние которых от p₀меньше е:{pϵRⁿ│ρ(p₀,p)<e}. Шар радиуса e с центром p₀, обозначаетсяB(p₀,e) или U(p₀). Множество U_e(p₀) называют e-окрестностью точки p₀

20. Внутренние и граничные точки множества. Пусть Х-множество в пространстве Rⁿ. Точка p называется:

-внутренней точкой множества Х, если она содержится в Х вместе с некоторой своей е-окрестностью

-внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rⁿ

- граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки.не принадлежащие Х

21. Открытые и замкнутые множества. МножествоD называется открытым, если все его точки внутренние (замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки).

Множество {M} называется замкнутым, если все граничащие точки принадлежат этому множеству.

22. Изолированные и предельные точки множества. Точка М₀ называется предельной точкой множества {M}, если в любой ее окрестности существуют точки множества {M}, отличные от М₀

Точка p₀ ϵХ называется изолированной точкой множества Х, если у нее существует е-окрестность, в которой никаких других точек из Х кроме p₀, нет.

23. Ограниченные множества. Множество XϵRⁿ называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре. (Пусть p₀- точка в Rⁿи е-положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса е с центром p₀называется множество всех точек, расстояние которых от p₀меньше е:{pϵRⁿ│ρ(p₀,p)<e}.)

24. Сходимость последовательности точек в Rⁿ, ее эквивалентность покоординатной сходимости. Пусть {p_n}- послед-ть точек в Rⁿ. Эта послед-ть сходится к точке p_o, если числовая послед-ть {ρ(p_n,p₀)} имеет предел 0.Пусть p₁=(x₁,y₁), p₂=(x₂,y₂),…-послед-ть точек в R². Мы скажем, что эта послед-ть сходится к точке p0=(x₀,y₀), если числовая послед-тьx₁,x₂,… сходится к числу x₀, а числовая послед-тьy₁,y₂,…- к числу y₀.