1. .
f (x) , .
.
, . , f (x) a : = = , A ≠ B. < B. U (A, e) U (B, e) A B . = = ,
$ (a, d1): (x Î (a, d1) Þ f (x) Î U (A, e))
$ (a, d2): (x Î (a, d2) Þ f (x) Î U (B, e)).
d = min {d1, d2}. (a, d1) (a, d2) , (a, d) . , : f (x) Î U (A, e) f (x) Î U (B, e),
, , . , , A = B. . a = .
2. .
f (x) = C x (a, d) a, = C.
.
e > 0. x (a, d) , f (x) Î U (C, e), = C. .
3. .
f (x) g (x) a A B. a f (x) g (x), f (x) g (x) ( B ≠ 0), = A B, = A B, .
.
, .
e > 0. = , (a, d1),
| f (x) A | < e/2. = , (a, d2), | g (x) B | < e/2. d = min {d1, d2}. (a, d) (a, d1) (a, d2), , , . (a, d) | f (x) + g (x) (A + B) | = | ( f (x) A)+ (g (x) B) | £ | ( f (x) A) | + | (g (x) B) | < e/2 + e/2 = e. + g (x) = A + B. . .
4. , .
f (x) = , , f (x) .
.
e > 0. = , (a, d), | f (x) A | < e. , e < f (x) A < e, A e < f (x) < A + e. f (x) (a, d). .
|
|
5. .
= A > B. (a, d) a, x f (x) > B.
.
e . e (a, d) a, x ,
, ,
, .
, , A > B, . , x (a, d) a f (x) > B. .
. = A < B, (a, d) a, x f (x) < B. .
6. .
(a, d) a f (x) g (x) .
x (a, d) f (x) = g (x), = ,
x (a, d) f (x) £ g (x) f (x) < g (x), £ .
.
7. .
(a, d0) a f (x), g (x) h (x) , x (a, d0) f (x) £ h (x) £ g (x). a = = A, = A.
.
.
e > 0. = = A, (a, d1), x | f (x) A | < e, (a, d2), x | g (x) A | < e. d = min {d0, d1, d2}. (a, d) (a, d0), (a, d1) (a, d2), , , : f (x) £ h (x) £ g (x), | f (x) A | < e, | g (x) A | < e,
f (x) £ h (x) £ g (x), A e < f (x) < A + e A e < g (x) < A + e. , (a, d) A e < f (x) £ h (x) £ g (x) < A + e, A e < h (x) < A + e, | h (x) A | < e. , = A. .
8. .
f (x) [a; +¥). , f (x) , , +¥, . .