Енергія та інтенсивність хвилі

 

Якщо хвиля x=Acos(wt-kx+a) розповсюджується в пружному середовищі, то його частинки мають кінетичну W_к та потенціальнуW_п енергії. Одиниця об'єму має кінетичну енергію

(1)

i потенціальну

, (2)

де

V_ч = = - Аwsin(wt - kx + a) (3)

швидкість частинок, а

e = = - Aksin(wt - kx + a) (4)

відносне зміщення частинок, Е ¾ модуль Юнга. Квадрат хвильового числа, визначений через величину швидкості тіла у твердому тілі, можна записати у вигляді

. (5)

Урахувавши (3-5) в (1-2), одержимо повну енергію одиниці об'єму пружного середовища (густину енергії) у вигляді

. (6)

Середнє за період Т значення повної енергії <W> визначається середнім значенням sin²(wt - kx + a), яке дорівнює 1/2 i тепер:

.

Інтенсивністю хвиліназивається кількість енергії, яка проходить через одиничний поперечний переріз за одиницю часу:

,

де DW ¾ енергія, яка проходить через поперечний переріз DS_n за час Dt. За час Dt через DS_n пройде енергія DW, яка міститься в об'ємі DV = DS_nDl = DS_n V·Dt і дорівнює

DW = < W > DS_n V·Dt,

при цьому

І = А²w²rV.

Інтерференція хвиль

 

Когерентними називаються дві хвилі, частоти яких співпадають w₁=w₂, а різниця фаз d(t)=Ф₁-Ф₂ за період змінюється менше ніж на p. Надалі розглядатимуться когерентні хвиліз d=const.

На кожну частинку середовища, до якої приходять дві або декілька хвиль, діють пружні сили, викликані коливаннями, що приносять ці хвилі.

Взаємодія когерентних хвиль призводить до перерозподілу їх енергії в просторі. Це явище називається інтерференцією хвиль. Нехай в деякій точці середовища взаємодіють дві когерентні хвилі. Результат взаємодії можна визначити через додавання в цій точці двох коливань одного напрямку. Математично це виражається у вигляді:

, (1)

де

, (2)

, (3)

причому

, (4)

де

, (5)

В (5)

. (6)

є різниця фаз хвиль, х₁, х₂ ¾ шлях, який пройшли коливання в середовищі. Вирази (5-6) одержані з фазової діаграми для коливань (2-3).

Для інтенсивності коливання I ~ A² і можна записати

. (7)

У виразі (7) третій доданок називають інтерференційним членом.

Як видно з виразу амплітуди результуючого коливання, при додаванні когерентних хвиль, в залежності від d, може виникнути підсилення й послаблення інтенсивності. Можливі два випадки, характерні для інтерференції. Нехай , тоді ¾ різниця ходу хвиль, причому .

1.Якщо

, то

, (8)

а результуюча амплітуда дорівнює

,

і спостерігається максимум інтенсивності. Таким чином при інтерференції максимумвиникає якщо різниця ходу когерентних хвиль дорівнює цілому числу довжин хвиль

.

 

2.Якщо

, то

,

а результуюча амплітуда дорівнює

і спостерігається мінімумінтенсивності. Мінімум інтерференції виникає, якщо різниця ходу когерентних хвиль дорівнює напівцілому числу довжин хвиль

.

 

Акустичні хвилі

 

Акустичні хвилі¾ хвилі з частотами в діапазоні від 16 Гц до 20 000 Гц, які викликають у людини слухові (звукові) відчуття. Хвилі з n < 16 Гц ¾ інфразвукові, а хвилі з n > 20000 Гц ¾ ультразвукові.

Звукові шуми ¾ акустичні хвилі з неперервним спектром.

Музикальні (тональні) звуки¾ акустичні хвилі з лінійчатим спектром. Кожна синусоїдальна хвиля називається звуковим тоном, а тон із найменшою частотою n₀ ¾ основним, тони з n > n₀ ¾ обертонами, якщо n кратні n₀ ¾ обертони називаються гармонічними (перша, друга і т.д. гармоніки).

Тембр звукувизначається набором обертонів ¾ їх частотами та амплітудами.

Мірою сили слухового відчуття є гучність звуку, яка залежить від його інтенсивності та частоти.

Порогом чутностіназивається та мінімальна інтенсивність звуку І₀, при якій звук сприймається органами слуху. Стандартний поріг чутності при n=1000 Гц.

Порогом болевого відчуттяназивається та мінімальна інтенсивність звука І_пор, при якій сприймання звуку органами слуху не викликає болевого відчуття.

Інтенсивність плоскої звукової хвилі - кількість енергії, що проходить за одиницю часу через одиничну плоску поверхню перпендикулярно напрямкові поширення хвилі і може бути представлена у вигляді (див.п.5.4)

,

 

де r ¾ густина середовища, ¾ частота хвилі, А ¾ амплітуда хвилі, V ¾ швидкість хвилі. Суб'єктивною, фізіологічною оцінкою інтенсивності звуку є гучність звуку. З ростом інтенсивності звуку його гучність зростає за логарифмічним законом. За об'єктивну оцінку гучності звуку беруть рівень інтенсивності звуку

.

Одиницею інтенсивності звуку є "Белл". У практиці користуються одиницею у 10 разів меншою - децибелл (дБ).

Фізіологічною характеристикою є рівень гучності, що вимірюється в фонах. Так, при інтенсивності в 1 дБ, звук чистого стандартного тону (1000 Гц) має рівності гучності 1 фон.

 

Ультразвук. Ультразвукє акустичною хвилею з частотою n > 20 кГц і характеризується особливою властивістю поширюватися у вигляді строго спрямованих променів. Це викликано високими частотами (малими довжинами хвиль) ультразвуку. Для генерації ультразвукувикористовуються змінні електричні або магнітні поля, що діють, наприклад, на кварцеву пластину у першому випадку ¾ зворотний п'єзоелектричний ефект, або феромагнтик у другому випадку ¾ магнітострикція. В обох випадках у кристалах виникають вимушені пружні деформації, що породжують у випадку резонансу (власні частоти кристалів співпадають з частотами змушуючого поля) випромінювання потужних ультразвукових хвиль.

Ультразвуки широко використовуються в техніці і промисловості, у вивченні фізичних властивостей речовин, у медицині і біології і т.п.

 

Ефект Доплера

При взаємному рухові приймача та джерела хвиль, змінюється, порівняно з частотою джерела хвиль, частота звукових коливань, яку реєструє приймач. Це явище має назву ефекта Доплера.

1). Нехай джерело хвиль рухається відносно середовища зі швидкістю V_дж (див.Мал.45.а). При цьому одне повне коливання розповсюдиться на відстань , що дорівнює

. (1)

2). Нехай тепер приймач рухається зі швидкістю V_пр (див.Мал.45.б). У кінці першої секунди він буде сприймати мінімум, який на початку цієї секунди відстояв від його теперішнього положення на відстані, чисельно рівній V. Таким чином приймач сприйме за 1 с коливань з довжиною хвилі , що вміщуються на відстані, чисельно рівній . Частота коливання при цьому буде дорівнювати

. (2)

Підставивши (1) у (2), одержимо

. (3)

У виразах (1-3) швидкості є проєкціями векторів на пряму, що сполучає джерело та приймач.

Ефект Доплера розглянуто стосовно звукових хвиль, що поширюються у об’ємі простору, заповненому матеріальним середовищем, без якого ці хвилі не існують. Для електоромагнітних хвиль, які можуть існувати і без наявності якогось середовища, розрахунок ефекта Доплера проводиться з урахуванням релятивістського закону додавання швидкостей.

 

Стоячі хвилі

Якщо всі частинки середовища коливаються в фазі а амплітуда коливань залежить від координати точки, то кажуть, що в середовищі виникла стояча хвиля.

Для простоти розглянемо результат взаємодії двох зустрічних хвиль з однаковими частотами й амплітудами. Нехай:

, (1)

де

, (2)

, (3)

причому

, (4)

В (4) А(х) є амплітудою стоячої хвилі, причому

. (5)

 

З (4) видно, що фаза стоячої хвиліФ не залежить від координати точки середовища, і всі його точки коливаються з однаковою фазою Ф=wt+a/2, але різними амплітудами.

Точки середовища, в яких А(х) мінімальна, називаються вузлами, а точки, в яких А(х) максимальна за величиною ¾ пучностями стоячої хвилі. Нехай , тоді координати пучностей та вузлів визначаться так: пучність ¾ А=2а при ; вузли ¾ А_ст=0 при .

Відстань між двома сусідніми вузлами або пучностями називається довжиною стоячої хвилі і вона дорівнює . На Мал.46 показано розподіл амплітуди коливань частинок середовища в стоячій хвилі з вузлами та пучностями в залежності від координати х.