При доказательстве существования пределов последовательностей применяют

Тема 2. Числовая последовательность и её предел

 

1. Последовательность задана формулой общего члена. Записать

пять первых членов последовательности:

а) ; б) ; в) .

Изобразить каждую последовательность на координатной оси.

 

2. Определить:

1) какие из последовательностей ограничены сверху,

ограничены снизу, ограничены;

2) какие из указанных последовательностей являются

возрастающими, убывающими;

3) какие из последовательностей являются сходящимися,

если

а) ; б) .

 

3. Пользуясь определением предела последовательности,

доказать, что = а, если

а) , а = 2; б) , а = 0.

Указать номер .

 

Практическое вычисление пределов основывается на

применении теоремы об арифметических операциях над сходящимися последовательностями (теорема о пределе суммы (разности) сходящихся последовательностей, определе произведения сходящихся последовательностей и о пределе частного сходящихся последовательностей).

4. Найти предел последовательности:

 

а) ; б) ;

в) ; г) ;

 

д) ; е)

При вычислении пределов вида , где х_n ® ¥, у_n ® ¥

непосредственному применению теорем предшествует тождественное преобразование выражений под знаком предела.

Иногда таким преобразованием является деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение.

 

5. Найти предел последовательности:

 

а) ; б)

 

При вычислении пределов, содержащих иррациональность, переводят иррациональность из знаменателя в числитель или наоборот.

 

6. Найти предел последовательности:

а) ; б) ;

в) .

При вычислении пределов последовательностей, члены которых являются результатом суммирования, используются формулы суммы арифметической и геометрической прогрессий.

 

 

7. Последовательность задана рекуррентно:

, , n Î N, n ³1.

Найти предел последовательности, если известно, что он

существует.

Если последовательность задана рекуррентной формулой и известно, что её предел существует, то для его вычисления используют равенство:

= .

 

8. Доказать, что .

 

При доказательстве существования пределов последовательностей применяют

· теорему о зажатой последовательности;

· теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности

 

9. Доказать, что последовательность

имеет предел.

 

Домашнее задание

1. Изобразить последовательности на координатной оси.

Установить, какие из них имеют предел (сходятся), а какие не имеют (расходятся).

а) , ;

б ) , ;

в) , .

 

 

2. Определить:

1) какие из последовательностей ограничены сверху,

ограничены снизу, ограничены;

2) какие из указанных последовательностей являются

возрастающими, убывающими;

3) какие из последовательностей являются сходящимися,

если

а) ; б) .

 

3. Пользуясь определением предела последовательности,

доказать, что = а, если

а) , а = ; б) , а = 1.

Указать номер .

 

4. Найти предел последовательности:

 

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) ; м)

 

 

5. Найти предел последовательности:

 

а) ; б)

 

6. Найти предел последовательности:

а) ; б) ;

7. Доказать, что последовательность, заданная рекуррентным

соотношением, , не имеет предела.

8. Найти предел последовательности:

 

а) ; б) ;

в) ; г) .