Теоремы о равносильности уравнений (неравенств)

Уравнения с одной переменной.

Определение 1. Равенством называется соединение двух выражений двумя горизонтальными черточками = (знаком равенства).

# А, В, С… - выражения.

Свойства равенств.

1. Любое А равно самому себе: А=А (свойство рефлексивности)

2. Если А=В, то В=А (свойство симметричности)

3. Если А=В и В=С, то А=С (свойство транзитивности)

4. Если А=В, и С – любое выражение, то А+С = В+С (свойство стабильности (монотонности) сложения)

5. Если А=В, и С – любое выражение, то А*С = В*С (свойство стабильности (монотонности) умножения)

Определение 2. Равенство, справедливое (верное) для любых значений букв, входящих в правую и левую его части, называется тождеством.

 

Определение 3. Равенство, справедливое не для всех значений букв, входящих в правую и левую части называется уравнением.

Примечание. В зависимости от скольких букв, не являющихся постоянными, уравнения бывают с одним неизвестным (скажем, буквой Х), с двумя неизвестными (скажем, с буквами Х и У) и т.д.

Определение 4. Корнем уравнения называется такое значение неизвестного (выраженного через числа или буквы), при котором уравнение обращается в истинное равенство (тождество).

Примечание. Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

Определение 5. Областью определения уравнения или областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) уравнения называется множество тех значений неизвестного, при которых имеют смысл его левая и правая части.

 

В элементарной алгебре изучаются выражения (с переменными или без них), действия (или операции) над выражениями и соответствующие алгебраические преобразования, а также отношения между выражениями: равенства – тождества и уравнения, неравенства, совместное выполнение нескольких алгебраических условий и т.д. Все возможные отношения между выражениями с переменными – уравнения, неравенства, системы неравенств и уравнений, их совокупности – будем называть алгебраическими задачами или, коротко, задачами.

Понятие равносильности уравнений.

Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают, или оба эти уравнения не имеют корней.

 

Определение 2. Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) (1) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x), (2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). Уравнение (2) называют следствием уравнения (1), если множества их решений µ1 и µ2 / µ2 С µ1

Схему решения любого уравнения можно описать так: заданное уравнение (1) преобразуют в уравнение (2), более простое, чем уравнение (1); уравнение (2) преобразуют в уравнение (3), более простое, чем уравнение (2), и т.д.:

(1) → (2) → (3) → (4) → …

В конце концов, получают достаточно простое уравнение и находят его корни. В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли множество найденных корней последнего уравнения с множеством корней уравнения (1)?

Правила:

· Если в процессе решения задачи совершались только равносильные преобразования (убедитесь в этом на каждом шаге), то все полученные решения и только они являются ответами исходной задачи (в ходе решения не могло произойти появление посторонних ответов или их потери).

· Если примененный в решении технический прием потребовал исключения из области определения задачи некоторых чисел, то необходимо отдельно проанализировать все такие исключенные значения и учесть в ответе те из них, которые удовлетворяют решаемой задаче

· Если в процессе решения задачи было сделано хотя бы одно неравносильное преобразование, то необходимо:

а) убедиться, что в ходе решения не было потери корней, то есть все совершенные преобразования – или равносильны, или преобразования-следствия,

б) тем или иным способом проверить полученные решения, отбросив посторонние ответы, если они появились.

Теоремы о равносильности уравнений (неравенств).

1. Если функции f(x), g(x), h(x) определены на множестве X, то на X

f(x)<g(x) óf(x)+h(x)<g(x)+h(x),

f(x)=g(x) ó f(x)+h(x)=g(x)+h(x)

Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположенным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

 

2. Если h(x) > 0 на X, то на X

f(x)<g(x) ó f(x)*h(x)<g(x)*h(x),

то есть при умножении неравенства на положительную функцию знак неравенства не меняется.

 

3. Если h(x)<0 на х, то на х

f(x)<g(x) ó f(x)*h(x)>g(x)*h(x),

то есть при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

 

4. Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x)=g(x);

б) нигде в этой области не обращается в 0, - то получится уравнение f(x)*h(x) =g(x)*h(x), равносильное данному.

Следствием теоремы 4 является еще одно утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

 

5. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

 

6. Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное данному: f(x)ⁿ=g(x)ⁿ.